CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3l
supposer que Tinstant actuel a été pris comme instant initial; alors x,y^ z sont égaux à «, 6, c, et Ton a
( 1 dw dv i\db de
Mais les formules du numéro précédent donnent
ùw
V, dV V dY dY
vGp,
~db "
^ Il 'ôb ~ l?' ~&t ~àb ~
en appelant G la vitesse de propagation - — - et [ii le cosinus de
l'angle de la normale à la surface avec 0.r, ^j^- —• On a pour les
autres variations des expressions analogues, et l'on trouve finalement
8r) = iG(XY-va),
0^=.|G([JLOC— Xp).
Donc le vecteur oç, ori, oî^ représentant la variation brusque de la rotation moléculaire instantanée est le demi-moment de la vitesse de propagation portée sur la normale par rapport à l'extrémité du segment Çk, p., v) représentatif de la discontinuité.
On peut remarquer que la composante tangentielle du vecteur (X, ^uL, v) intervient seule ici : en laissant à cette composante la même valeur et faisant varier la composante normale, on n'altérerait pas 0^, ûYj, 0^.
Au contraire, comme nous l'avons vu dans le numéro précédent, la composante normale du vecteur ()v, u., v) intervient seule dans la variation brusque de la densité d'un côté à l'autre de la surface de l'onde.
EXERCICES
1. Vérifier elTectivement par le calcul que si l'on prend la dérivée de pD par rapport au temps, en suivant un élément dans son mouvement, on obtient l'équation de continuité d'Euler (n° 701).
cl yz
Réponse. — Développant D et appelant -y-j les mineurs tels que
dy dz dz Oy da db da db
3l6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
on a
clD du clyz ou d yz du d yz
dt ~ àa d bc ôb d ca ' de d ab
ôv d zx dv d zx dv d zx
àa dbc ' db d ca de d ab
dw dxy div dxy dw dxy
da d bc db d ca de d ab
dx
da du
car —y— = -— ,
dt da
Mais u étant supposé exprimé en x, y, z devient une fonction de a, h, e par
l'intermédiaire de x, y, z (formules i du n° 691 ): donc
du du dx du dy du dz
da ~ dx da ' dy àa dz da'
