CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3) y
lignes d'après l'ordre de dérivation par rapport à t,
da"-
(kf'^'db
âa"^' '
àa'^-^-db
da"-= '
dx'"-'-'
ôx'-''-''
da
db '
de" '
fk"-' '
dc-^ '
ôx<"-')
de
où x' , x" , . . ., xM sont les dérivées premières, secondes, .... 71'*"''' de x par rapport à t.
Chacune de ces lignes définit un facteur de proportionnalité, la première )>, la deuxième >>!, ..., la («+ i)'°""=X„. On aura un Tableau analogue poury et,^ avec Il -h i facteurs correspondants [x,- et v. On a ainsi, en définitive, n -)- i vecteurs {\, [i, v), (À,, IJ.,, V,), ..., (\, IX„, vj.
Les conditions de compatibilité cinématique exigent que tous ces vecteurs aient même direction et que leurs longueurs forment une progression géométrique dont la raison est la vitesse G. (Hadamard.)
4. Variation de la densité dans une discontinuité d'ordre n. — En employant la méthode du n° 719, on démontrera que les variations brusques des dérivées d'ordre /i — i de logo, par rapport à a, b, c sont proportionnelles aux termes du développement de
h^^Ada ' db de) '
le facteur de proportionnalité étant
dF
dF
da
db
de
c'est-à-dire la projection du vecteur caractéristique de la discontinuité {"K, |x, v) sur la normale à la sur/ace. (Hadamard.)
5. Dilatations principales dans une déformation infiniment petite. — Démontrer que les coefficients des dilatations principales en un point pour une déformation infiniment petite (n" G85 ) sont les racines de l'équation du troisième degré en 0 ( n° 670) :
"" dx
dv dx
dy
du d-w dz dx
dv
du
dw dv
dx
dy
"ày
dy "^ dz
du
dJ-^
àx
dw ôy^
dv
dz
dw ' dz ''
6. Vitesses de dilatations principales en un point dans un fiuide en mouvement {n" 705). — Remplaçant, dans la formule précédente, u, v, w par udt,
ol8 EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
vdt, w clt, ei faisant — = 5, on obtient une équation de troisième degi'é en s dont les racines sont les vitesses demandées.
7. Théorème de Bertrand. — En tout point d'une particule fluide en mouvement, il y a au moins un élément superficiel fluide dont le plan reste parallèle à lui-même pendant le temps dt {^Comptes rendus, 1868, i" semestre, p. 1227 .
