CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Les projections de la vitesse sont alors

dx cly dz

dt dt dt

et celles de laccélération

dt^- ' ■' dt^ ' " df^'

Les équations du mouvement (i) s'écrivent donc

^"^^ p (^^ ' dV-' p dy df^' p dz ~ dr-'

Il faut joindre à ces équations l'équation <ie co/i^f/i?^f7e et l'équation caractéristique

( pD = po,

On a ainsi cinq équations pour déterminer x, y, z, p el o en fonction de a, 6, c et ^.

Dans les équations (4), /J et p sont supposés exprimés en fonction de X, y, z, t. Si l'on veut mettre en évidence les variables indépendantes de Lagrange a, b, c, /, il suffit de remarquer que /> et p, étant fonctions de :c,j^, ^, deviennent fonctions de a, 6, c par l'intermédiaire de x, y, ^ qui, d'après (3), sont des fonctions de «, 6, c. On a donc, en particulier, pour/?,

dp ()/? ()a7 dp dy dp dz da dx da dy da dz da

,«, , dp dp dx dp dy dp dz

^ ' \db~dxdb'^dydù^àzdL'

I dp dp dx dp dy dp dz

' de dx de dy de dz de

En multipliant ces équations par - et remplaçant -^ y —, — nar

'■ ' P ^ ' dx dy dz ^

leurs expressions tirées des équations du mouvement, on a les trois équations

^ d'^x\ dx / d^-y\dy / d^z\dz

- ~~dF-] àa^\ 'ciFjà^ "^ V ^dFJdFc'

, . -,, , ,, d'^x\ dx (7) T 37 = X

dp db

dt'- j db

, „ d- x\ dx

^ " ~dV-)'dc

qui, jointes à l'équalion de continuité et à l'équation caractéristique (5), déterminentles cinq fonctions x^ y^ z^ p et o des variables indépendantes a, ^, c, t.

1^1 . Conditions initiales et conditions aux limites. Discontinuités. — Dans l'intégration, il faudra tenir compte de deux espèces de conditions : les conditions initiales avant lieu pour / = o, et les conditions aux limites ajant lieu aux limites du fluide, quel que soit /.

1° Conditions initiales. — On donne à l'instant / = o la région Ro de l'espace occupée par le fluide, la pression et la densité/>o 6t Oq en chaque point a^b., c du fluide et les projections des vitesses initiales «o» ^oî <'^o "^^ chaque élément. Donc pour / = o, /?o, O05 ^'o? ''05 *ï^o sont des fonctions données de a^ ^, c dans la région Ro-

2° Conditions aux limites. — - D'autres conditions sont imposées au fluide pendant son mouvement : ce sont les conditions aux limiteg on à la surface.

Le cas le plus simple est le cas où le fluide est assujetti à rester

dans un espace limité par des surfaces fixes données; c'est le cas

d'un gaz ou d'un liquide assujetti à rester dans un vase fixe qu'il

remplit entièrement, ou à couler dans un tube fixe d(nit il louche

les parois. Il faudra alors exprimer qu'à un instant quelconque t

les éléments fluides qui touchent la surface fixe donnée ont une

vitesse tangente à cette surface. Soit W{x, y, z)=^o Téquation

de la surface fixe; il faut que l'on ait identiquement, quelque

soit t,

dW dT ô^V

ox dy oz

pour tous les éléments liquides pour lesquels W{x.,y,z) est nul. Plus généralement il pourrait arriver qu'un fluide fût assujetti à rester en contact avec une surface matérielle dont la forme et la position dépendent du temps,

(8) xt-(.r,jK,^, 0 = 0;

tel serait le cas d'un fluide contenu dans un vase animé d'un mouvement donné. U faut alors écrire que l'élément fluide dm de

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