CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. SaS

coordonnées x^ y, z, qui, à l'instant ;, est sur la surface (8), glisse le long de cette surface, c'est-à-dire que sa position x-\-dx, y -\- dy^ z -\- dz à l'instant t + dt est encore sut- la surface ; on a ainsi la condition

W{x -\- dx,y -+- dy, z -h dz, t -f- dt) = o.

Développant et tenant compte de W ^ o, on a

àW , dW , on' , dW ,

— — dx H — — - dy -i dz H — — d/ = o;

ax ày az dt

mais dx^ dy^ dz, étant les projections du déplacement de l'élément dm pendant le temps dt^ sont égaux respectivement à udt^ vdl, ivdt, et la condition devient

Quand il s'agit d'un liquide, d peut exister une surface libre : si cette surface libre confine au vide, la pression sur la surface libre devra être nulle ; si la surface libre est en contact avec l'air regardé comme immobile, la pression sur cette surface est constante et égale à la pression atmosphérique. La surface libre a alors pouiéquation p — pa=^ o, pn étant constant ; en outre, comme les particules qui sont à la surface libre restent en contact avec cette surface pendant le temps c//, on a, sur cette surface, d'après (9)

dp dp dp dp

dx dy dz dt

Dans certains cas les deux sortes de conditions aux limites existent à la fois [)Our un liquide : par exemple, un liquide coulant dans un canal fixe à ciel ouvert est assujetti à rester en contact avec des surfaces fixes et en même temps à avoir sa pression constante sur la surface libre.

Il peut arriver que, pour satisfaire à ces diverses conditions aux limites, il faille admettre dans le fluide l'existence de certaines discontinuités du genre de celles que nous avons signalées à la fin du Chapitre précédent.

728. Cas OÙ la densité est fonction de la pression. — Les équations se simplifient quand la densité est fonction de la seule pression

Ce cas se présenterait en particulier si la température t restait constante en tous les points et pendant toute la durée du mouvement; car, dans cette hypothèse, l'équation caractéristique entre/?, p et T deviendrait une relation entre p et o.

11 se présente aussi quand chaque élémentsubil une transformation adiabatique (724).

Supposons donc p ^f(^p) et introduisons, au lieu de la pression, la fonction

r'^dp r^ dp

J T^J 7ÎP)'

Pa ^ Po *' ^-^ '

OÙ po est une constante quelconque : P est une fonction uniforme de p définie à une constante près, car la limite inférieure de l'intégrale/?o est arbitraire.

Comme p est une fonction des coordonnées x,y, z- de l'élément dm et du temps t, il en est de même de P, et l'on a évidemment

âx p dx dy p dy dz p dz

lues équations sont alors

d^x dP d-'-y dP d^z dP

^'°^ 'dt^-^~d^' -dt^-^~dj^' -df^-^-dl''

on a ainsi, avec l'équation de continuité, quatre équations définissant x,y, z, P en fonction de «, b^ c, t.

Les équations sont écrites en regardant P comme une fonction de Xjj', z. t] mais ^, j', :; étant des fonctions de «, b, c, t, P est fonction de rt, b, c par l'intermédiaire de x-iy, z, et l'on a

dP dx dP dy dP dz dx da dy da dz da

àP db

dP dx ^. .., dx db

dP dx ^ ~ dx de ■ ■ ■ '