CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
fonction
et l'on a, pendant tout le mouvement,
équations que l'on peut résumer dans l'équation unique
u dx -1- V dy -+- w dz — ( ;<o ^<^ "t- l'o db -t- (Pq de) ^ dF .
n' ' ' V- / ■X\ \ , ■ ^. • . àF dF dF ,
U après ces équations (20), les trois dérivées^» -^5 — s annulent pour f ^ o, car u^ r, w prennent alors les valeurs Wq» *'o> ^0 et X, y^ z les valeurs a, b, c. Donc pour ^ = o, F se réduit à une constante indépendante de a, b, c.
Dans cette manière d'interpréter le calcul de Caiichy, le théorème de Lagrange sur le potentiel des vitesses devient évident : si
Ko da -f- t^o (^^i> -T- '"'0 ^c
est une différentielle totale exacte d' une fonction '•2o{a, b, c),
u dx -f- V dy -r- w dz
est également une différentielle exacte à chaque instant t. On a en effet
u dx -T- V dy -+- iv dz = «0 d<^ -i- Vodb -\- Wq de -+• dF ; si donc
Uq da ■+- ("0 db -^- Wq de = doo, on a
u dx -t- V dy -4- ir dz = d{^Q-T- F),
et le théorème de Lagrange est démontré.
Différentions la première des équations (28 ) par rapport à t en
d ôx du •! •
remarquant que 'jz ~r ~ ^' • • • j ^^ vient
du dx dv dy dw àz du r)i> dw d dF
dt da dt da dt da da da da da dl
Mais, d'après les équalions du mouvement (i 2), l'ensemble des trois premiers termes s'écrit
oq d.r dQ dy clQ ôz dx Oa dy Oa ' Oz ôa
• 1 • ^ àq r\ A
te qui est identique a -— • Un a donc T ^ Oa
da L^ 2 dt J
On trouverait de même
La fonction entre crochets est donc indépendante de a. 0. c et ne dépend plus que de t. D'où
Comme jusqu'ici la fonction F a simplement été définie par la condition que ses dérivées partielles par rapport à r/, h, c aient des valeurs données, elle n'est déterminée qu'à une fonction de /
|)rès et Ton peut faire renirer -/( t)dt dans F en remplaçant F
par ¥ -\- f '/ (i) àt; on a donc enfin
dFia, b, c. t)
(24) QH-(«2^-r2-^ (y2) =
dt
où la fonction F est maintenant complètement déterminée à une constante additive près. On peut convenir de déterminer celle constante de façon que F s'annule avec /, car, ])0ur l = u. F est indépendant de «, ^, c.
Les équations ('^3) et (24) ont été données par ^^ eber dans le Tome 68 du Jouiiuil de d'elle en 1868; avec l'équation de continuité et l'équation p = y(^), elles forment un système de six équalions du [)remier ordre déterminant x^ j', c, p, /?, F en fonction de rt, />, c, i. Dans ces équations, il faut imaginer //, c, w rem-
1 , dx dv dz
places par ^,^,^.
