CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
dz dz dz f^l ainnfant. nillS Dar
àb lalions
1 et ajoutant, puis par |, fj^: % et ajoutant, les deux autres re-
, ày dy ^'"db'^ ^■' de
dz ^ <^.-
^''''Tb '^■'re
D'après l'équation de continuité, le déterminant D n'est pas nul,
il est é^al à ^ ; dans le cas où le fluide est un liquide iiicompres-
sible à température constante, D = i .
Ces équations de Cauclij rendent maintenant le théorème de Lagrange évident. En effet, si à l'instant / = o, pour un élément fluide déterminé, le tourbillon Qo(io, '^o, -o) est nul, les équations (21) et (21') montrent que, pour ce même élément, le tourbillon Q(^, t., r) est nul à un instant postérieur quelconque ^ Inversement, d'après les formules (20), si Q est nul. ùo l'est. Le théorème de Lagrange est donc démontré.
Les relations établies par Cauchy sont d'une importance capitale : elles montrent que le tourbillon est un élément cinématique qui est indestructible par les forces de la nature, par les forces conservatives qui agissent sur le fluide, aussi bien que par les pressions de celui-ci. Si la rotation d'un élément n'existe pas, elle ne naîtra pas et, si elle est née, elle subsistera. Elle ne peut naître ou s'éteindre que par l'action du frottement ou de forces non conservatives (').
Le théorème de Lagrange s'applique en particulier d'une manière simple, quand le liquide en mouvement /^rtr^ du repos. Alors on a en tous les points rt, b, c du liquide dans sa position
initiale
Uo = o, l'o = o, (T'o = O ;
par suite, le tourbillon initial est nul en chaque point
Donc, à un instant quelconque du mouvement, les projections
C) Maurice Levy, L'hydrodynamique moderne, etc. {Revue des Sciences,
^, T,, ^ da tourbillon sont nulles, el les vitesses dérivent d'un potentiel.
731. Interprétation des équations de Cauchy. Généralisation du théorème de Lagrange. Équations de "Weber. — Les équations de Cauchj ont évidemment une portée plus générale que la conclusion spéciale que nous en avons tirée. Nous y reviendrons à propos de la théorie des tourbillons. On peut les interpréter de la façon suivante :
Considérons l'expression différentielle
( 22 ) u dx -t- V dy -t- w dz — ( u^ da -i- v^ dh -\- w^^ de),
où t est regardé comme une constante, et x^ j', :; comme des fonctions de a, 6, c, t correspondant au mouvement du fluide. Les équations de Cauchj telles que (i8) signifient que, pour chaque valeur de l, V expression (22) est une différentielle totale exacte.
En effet, t étant regardé comme une constante, on a
, dx , dx ,, dx , dx = -— da -\- -r-, du -+- -— de.
oa 00 de
dy = ^ da -\- ^ dh -\ — — de,
•^ da oh (Je
dz = -^ da ^ y db ^ — de.
da db de
L'expression (22) s'écrit alors
dx dy dz \ , / dx dy dz \ ,,
I dx dy dz \ ,
expression de la forme
A da ^ B db -\- C de ;
elles relations telles que (18) signifient, comme on le verra immédiatement,
dB
dX
dC
dP,
à\ dC ^
da
^ db'
db ~
Te'
Oe ^ da'
la quantité considér(;e est donc bien une différentielle exacte d'une
dx dy dz
— -+- p -f^ -+- (r — - da da da
dF
da
dx dy dz
db^'^-^'Tb-
dF
- ''« = Jb
dx dy dz
de de de
dF
