CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS. Sag

déterminants obtenus en prenant successivement les dérivées des. diverses lignes ou colonnes et de ce que

dt\dq\) Oq\\dt)~dq\''"

Mais «1, «2i ":i peuvent être supposés exprimés en fonction de gj, q^, (/3, t; alors

D(»i, ^2, gs) ^ D("i, q-ï, qz) D(yi, 7-2, qz) ^ ^

De même le deuxième et le troisième déterminant de la formule (B)

du.-, „ ôii^ -, sont — - K et ^ — K.

dqi àqj,

On a alors

f/K [àus diin duz\

dt ~ \dqi dq.2 ' dq^J

L'équation de continuité est donc finalement

, I f/p 1 dM âiii àui Ous

^ ^ p clt ~ M ~d( ~ Oq\ "^ dq~i "*" 'dq^ ~ "'

h,n développant —j- on peut 1 écrire

dM dU dm dU dm

dt dqx dq-i dq^ dt

L'équation (C) peut alors être écrite

£ f/p j^^Vdimi/i) ^d(Mu<i) diMu^) '-^M ] p dt M l Oqi ' Oq2 ' dq~3 ^ dt ] ~ ^'

Par exemple, en coordonnées polaires dans l'espace r, 6, w, on a

M = résine.

Posons

dr dd doi

' dt - dt dt

L'équation de continuité est

i dp "2 ^ du, du-, du-i

- :77 ^ - "1-+- "2 cote -^ -T- + -;7f + T ■ = ^■ p dt r dr df) doj

on peut l'écrire

I c?p J d{r'^Ui) I (?(j<2sin6) ^«3

p dt /•■- dr ' sin6 dt) t^w

36o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Cas particulier des coordonnées curvilignes orthogonales. — Soient x=^{qx,qi,qz), J = 'Hlu qi, qz). z = w{qu q^, q^)

les formules de transformation : nous supposons que les trois familles de surfaces 5r,=:const., ^2 = const., ^3=con£t. sont orthogonales. Si l'on appelle dx, dy, dz les accroissements infiniment petits de x, y, z correspondant à des accroissements rf^rj, dq^. dq^, on a, en faisant la somme des carrés de ces accroissements, une expression de la forme

ds'~ = h^ dqj -^ h'I dq 5-1- A § dql.

En prenant le déterminant M et l'élevant au carré on trouve immédiatement, d'après les conditions d'orthogonalité,

On peut alors écrire les formules (C) et (E) avec cette particularité

dM que -— est nul.

dt

Soit à partir d'un point P la courbe obtenue en supposant q^ et q-^ constants; l'arc dsi de cette courbe est donné par

<r/5i= hidqr, de même

ds2 = hi dq-2, dsi = h^ dq^^

sont les arcs des courbes obtenues en faisant varier seulement ^2 ou q'^. On introduit ordinairement les composantes de la vitesse Cj, pj, (3 suivant les trois directions dsi^, ds.^, ds^ : ces composantes sont

(isi , , ,

et l'équation (E) s'écrit

(F) ^ '^? , ' ràivihoh^j) djv^hshi) ^ (^(^3^1^2)1^^

p dt hiliJi-i L dqi dq<, dq-^ J ^

On pourra faire une application de cette équation aii\ coordonnées polaires dans l'espace.