CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
la première Ro par (RJ -^- «^ . ^3)3 et F(^) par Rf—^. On aurait ainsi une équation différentielle du premier ordre donnant Rj en fonction de t. Cette équation différentielle, dans laquelle on remplace —j- par Wi, donne
la vitesse Wi en fonction de R[.
Faisons le calcul dans l'hypothèse que le liquide s'étend à l'infini : alors « = ce, c = 00, Ro = ce. L'équation (53) devient donc
En y remplaçant F(<) par Rf— ^j on a
Rf
où il faut prendre le sii^ne — , car Ri diminue quand t augmente. En séparant les variables, on a ^ en fonction de Ri, par une quadrature. Si l'on veut calculer le temps T au bout duquel la cavité est pleine, il faut intégrer par rapport à Ri de 6 à o; ce temps est donc
ou en faisant Rf = h'-^x
L'intégrale définie a une valeur purement numérique : c'est une intégrale eulérienne de première espèce B f -> - 1 qui a pour expression
ou
ri
car r - = \Jt..
740. Équations analogues à celles d'Euler dans un système quelconque de coordonnées. — Nous avons indiqué au n" 733 comment on peut écrire, dans un système quelconque de coordonnées qi, q-i, q%^ les équations du second ordre définissant gi, ^2, qz en fonction de t et de q\,
qh ql-
Posons
dqi dq^ r/r/3
Ces trois quantités sont fonctions de t, q\, q%, ql '■ mais on peut les considérer aussi comme fonctions de t et de gr,, q^, q^. Ce nouveau système de variables indépendantes est analogue à celui d'Euler. Nous désignerons par un d de ronde les dérivées partielles prises par rapport au temps dans ce nouveau système. Soit alors /(y,, ^r,, ^3, t) une fonction
des nouvelles variables, on peut avoir à prendre la dérivée —, par rapport à i en regardant ^r,, g,. 03 comme constants, ou la dérivée totale —
dt
par rapport à « en regardant q^, q^. q^ comme des fonctions du temps. Cette dérivée totale a pour expression développée, d'après (A),
dt dqi ^ ' dq^ ' ' Oqz '^ ' dt Les équations de Lagrange, écrites au n" 733, s'écrivent alors immédiatement dans le nouveau système : pour cela, on v remplacera — 4^^ — ?— > •^ * ' j r dt dt
dqz . , , . • ' , ^ d-qi
—jT> l'ai" "i) "2, "3, puis les dérivées totales secondes — ^j •••ou
du\
Tt' •••P^'"
dui dut ôui dui dui
dt oqi oqi oq^ dt
Jl restera en outre à transformer l'équation de continuité.
Equation de continuité analogue à celle d'Euler. — Désignons, pour abréger, par I\I le déterminant fonctionnel de x, y, z par rapport à q^, qî, qi et par K le déterminant fonctionnel de qi, q-i, q^ par rapport à y',', 7 2) q-A
D(ry„5'„5r3)' ^{q\.qhq\)
L'équation de continuité que nous avons établie ( n" 733) exprime que le produit pMK est constant pour une même particule lluide. La dérivée totale de ce produit par rapport à t est donc nulle. Nous écrirons, en prenant la dérivée logarithmique,
prff ' ^\~dt ~ ¥^~dt ~
Calculons le dernier terme. On a
(B^ ^^^ ^ P("i> 92, 7.0 D(7i,M2, ga) 0(9^1,^2,^3)
^ ^ dt \^iq\,q\,q%) \i{q\.. q\. q%) ^{q\. q\. q%)'
comme il résulte de ce que la dérivée d'un déterminant est la somme des
