CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
l'équation (56) peut s'écrire
Elle exprime que la quantité entre crochets, c'est-à-dire la quantité appelée précédemment H (n° 737), ne varie pas quand s varie : cette quantité est donc constante tout le long du filet fluide considéré :
ou
Cette relation exprime le Théorème de Bernoulli.
11 faut remarquer que 3 est constant le long de chaque filet lluide; mais pour chaque filet S a une autre valeur. D'une façon précise, si les équations d'une trajectoire sous forme finie sont (n" 703)
la constante 3 est une fonction des deux constantes C et C, dont les valeurs numériques définissent la trajectoire d'un élément fluide ou le filet fluide considéré.
Si l'on emploie le syslème C. G. S. le premier membre de l'équation (5") et, par suite, la valeur de la constante 3 représentent l'énergie en ergs par gramme de fluide.
Considérons un filet fluide déterminé. Appelons Wq, />oj U,,. Qo les valeurs des fonctions W, /?, U, Q en un point déterminé du filet; en écrivant que la fonction
est constante tout le long du filet, on aura, le long du filet,
J(W2-W„2j = Q~Qo; ou, en remplaçant Q par sa valeur,
(58) i(W^-W|) = U-Uo- r^-
7i3. Application à un liquide. Démonstration directe. — A|3pliquons le tliéorème de BernouUi au mouvement permanent dun liquide incompressible: alors p est constant et
'ip = \}~
Dans ce cas, l'équation (58) s'écrit
le long d'un filet liquide. Si Ton connaît les valeurs Uq, /?oi W,, des fonctions U, p, W en un point déterminé d'un filet, on aura, tout le long de ce filet,
(60) lw2 u^=.iw^-Uo-^"-
La constante 3, relative à ce filet, est alors connue.
Cette formule (60) donne la vitesse en un point du filet quand la pression y est cdnnue, ou la pression quand la vitesse est connue. En résolvant par rapport à /?,
on voit que, le long d'un filet, la vitesse W ne peut pas dépasser une certaine limite, sans que le liquide se sépare. En effet, p devant être positif, il faut que l'on ait
en tous les points du filel.
On peut, dans le cas d'un liquide, établir directement l'équation de Bernoulli en la déduisant du théorème des forces vives.
Démonslralion directe pour un liquide. — Considérons un filel liquide déterminé et deux sections droites fixes o-q et a (Jig. 329) : ces sections sont infiniment petites, d'après la définition d'un filet : supposons que le liquide coule de o-q vers a- et appelons Wo et/?o la vitesse et la pression en t^^jW elp la vitesse et la pression en 7. Le mouvement étaut permanent, la masse dm de liquide traversant l'élément To dans le temps dt est égale à la
