CHAPITRI-: XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

masse liquide traversant t dans le même temps; or, pendant le temps dl, les éléments liquides placés suro-Q avancent jusqu'en c, d'une longueur W<:/^ : le volume liquide ayant traversé o-q est

Fig. 329.

PoOo

donc un cylindre droit de base cr„ et de hauteur Wodt, la masse de ce cylindre est

(61) dm = p (To Wo dt ;

de même à l'autre extrémité, les éléments primitivement sur ^ à l'instant t s'avancent pendantle temps dt jusqu'en cr' et la masse dm qui a traversé o- est

dm = oaW dt.

Ces deux quantités sont égales.

Nous allons appliquer le théorème des forces vives à la masse liquide qui, à l'instant t, est comprise dans le filet entre les sections c7o et a- et qui, pendant le temps dt, prend la position comprise entre les sections o-, et a'.

Quand on applique le théorème des forces vives à un système, il faut tenir compte des travaux des forces intérieures et exté-

rieures.

Actuellement le système étant un liquide parfait incompressible, les éléments matériels en contact sont à des distances constantes les uns des autres et glissent les uns sur les autres sans frottement : les forces intérieures ont donc un travail nul. Les forces extérieures sont : i° les pressions du fluide environnant sur les parois latérales du filet; 2" les pressions />o^o et/?cr s'exerçant

normalement sur les éléments (Tq et t, l'une dans le sens du mouvement, l'autre en sens contraire; 3° les forces données.

Il faut écrire que, pendant le temps dt^ la variation de la demiforce vive de la masse liquide considérée est égale à la somme des travaux élémentaires de ces forces. Pour cela, divisons la masse fluide comprise entre les sections o-q el i en n -\- i tranches infiniment petites, ayant toutes pour masse (^/;?, par des sections droites intermédiaires t,, 725 • • •• ^« ^ii nombre de n : numérotons les

tranches 0,1,2 /^ ; la vitesse des éléments de la tranche o a

été appelée Wo; nous appellerons de mémeWj, Wo, . . . , W,j les vitesses des tranches suivantes. La force vive totale de la masse considérée entre o-q et t à l'instant t est alors

à l'instant t-rdl^ chaque tranche a pris la position delà suivante, la dernière s'est transportée en st' où elle a acquis la vitesse W et la force vive de la masse est

dm ( W| -^ W| ^ . . . -^ ^Nl -^ W- ,) ; la variation delà demi-force vive est donc

Calculons la somme des travaux élémentaires des forces. D'abord les pressions sur les parois latérales du filet ont un travail nul, car elles sont normales aux déplacements des éléments sur lesquels elles agissent; la pression /^qS'o est appliquée à la première tranche (pii s'avance, dans le sens de cette pression, de AV,, dt :

son travail est donc

po^o^yodl ou, d'après (61!,

- Pq dm :

la pression /jo- est appliquée à la dernière tranciie qui s'avance. en sens contraire de cette pression, de \V^^ : son travail est donc

— pGWdt

ou, d'après (62),

p dm.