CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Le mouvement élanl supposé permanent, u, c, w,p, o ne dépendent pas de t : on peut donc supposer que --o ne dépend pas de t. Dans ces conditions, le calcul du n° 738 nous a montre que la fonction

(Jt 2 àt

do

est indépendante de x, y, z. Actuellement ^ est nul, donc la fonction

ne dépend pas de x,y, z; mais l'hypothèse que le mouvement est permanent montre que cette quantité H ne dépend pas de ^, car W et Q sont indépendants de t. Donc H est indépendant de

X, 7, z^ t, et Ton a l'équation

C désignant une constante.

Dans ce cas, on déterminera cp,/» et p par les trois équations

(70) . A/'!tfW-^rp'4W4('p'!) = o.

dx

Les trajectoires des éléments fluides coupent orthogonalement

les surfaces

o{x,y, z) = consl.:

d'après les valeurs de «, v, w, ces éléments marchent dans le sens suivant lequel o va en augmentant.

Il faudra intégrer les équations (70) sous les conditions miliales et les conditions aux limites. Par exemple, si le fluide, dans son mouvement, doit rester en contact avec une paroi fixe, la vitesse en chaque point de cette paroi doit lui être tangente; la composante de la vitesse normale à la paroi doit donc être nulle, ce qui donne la condition

dri '

tout le long de la paroi, la dérivée étant prise suivant la normale

à la paroi. On peut aussi interpréter celte condition en reniar-"

cpiant qu'elle exprime que le flux de fluide à travers un élément

quelconque de paroi est nul. Les surfaces équipotentielles des

vitesses

o = const.

couperont cette paroi fixe à angle droit.

Comparaison avec le théorème de Bernoulli. — En supposant un mouvement permanent dans lequel p =if(^p^ et dans lequel les forces dérivent d'une fonction de forces, nous avons vu (n" 742) que la quantité

est constante le long d'un filet fluide ; mais cette valeur constante difl'ère d'un filet à l'autre. Actuellement, nous supposons de plus que les vitesses dérivent d'un potentiel; nous trouvons alors que cette quantité H est constante dans tout le fluide .^ ou encore que la constante est la même pour tous les filets.

Il faudra distinguer deux cas, suivant que cp est une fonction uniforme de x, i', z dans le fluide (mouvement irrotalionnel acyclique) ou une fonction multiforme (mouvement irrotalionnel cyclique) {voir n" 710).

748. Cas d'un liquide incompressible. — Si le fluide est un liquide incompressible, o est constant, et l'on a, pour déterminer C3 et/? en fonction de x, y, z-, les deux équations

dont la deuxième est l'équation de Laplace.

Il faudra dans chaque problème trouver des fonctions o et p vérifiant ces équations et remplissant les conditions initiales et les conditions aux limites.

Analogie avec l'attraction newlonienne, — La fonction ci(.r,^, 2), vérifiant l'équation de Laplace, est analogue à un potentiel new Ionien dû à des masses qui attirent ou rej)oussent en

dx^ ûv' àz'-