CHAPITRE XXXIV. — DVNAÎllQUE DES FLUIDES PARFAITS. SjS
raison inverse du carré des dislances. Les surfaces cp =: const. sont alors analogues aux surfaces de niveau; les trajectoires des éléments liquides coupant orlhogonalement ces surfaces sont analogues aux lignes de forces, les filets liquides aux tubes de forces, et le flux de liquide à travers une surface est analogue au flux de force (Ghap. XXIX).
Il va de soi qu'on pourra appliquer à la fonction cp tous les théorèmes établis dans le paragraphe IV du Chapitre XXIX sur les fonctions vérifiant l'équation de Laplace.
Par exemple, si l'on trace par la pensée, dans le liquide, une surface fermée S, dans laquelle o est uniforme et continu, le flux total de liquide à travers cette surface est nul, ce qui est évident, car la masse totale du liquide contenue dans S est invariable.
749. Sources; doublets. — i" Une source. — Supposons que le mouvement permanent d'un liquide soit irrotationnel et entièrement symétrique autour d'un point O. Cherchons la forme de la fonction cp. Si nous prenons le point O comme origine, en appelant /• la distance d'un point x^ y, z au point O,
nous voyons que o sera fonction de /• seulement par raison de symétrie. Cette fonction dépend de .r, y, z par l'intermédiaire de 7", et l'on a
do d'j X d- cp d- o .r^ do ! i ^^ \ .
dx dr r ' dx^ dr'^ r- dr \ r r^ / '
on calcule de même —4' ^ et en formant l'équation de Laplace
A'j = o, on a, après des réductions évidentes,
d'- Ci 1 dr- r
On en tire en intégrant
^"■^> dJ- ^
A désignant une constante; puis
d'- Ci 1 d'f d / ., do ,
dr- r dr ' dr \ dr I
OÙ il est inutile d'ajouter une nouvelle constante, car o intervient dans toutes les équations par ses seules dérivées.
Le mouvement est entièrement défini par cette expression (']à) de C5 : les surfaces cp = const. sont des sphères de centre O; les trajectoires, les ravons de ces sphères; les filets fluides, des cônes ayant tous leurs sommets au point O. Ce point est d'ailleurs un point singulier où <p est infinie.
Dans ce mouvement, la fonction o est analogue au potentiel d'un centre unique O attirant ou repoussant suivant la loi de Newton.
Si A est positif, les particules liquides s'éloignent du point O comme si le fluide sortait de ce point : on dit alors que ce point est une source positive. Si A est négatif, les particules liquides se dirigent vers le point O pour j disparaître : ce point est une source négative .
Le flux de liquide à travers une surface fermée simplement connexe entourant la source O, de l'intérieur vers l'extérieur, est évidemment égal au flux de liquide à travers une sphère s de centre O et de rajor^ i . Ce flux est donc, pendant le temps dt,
^'II.^n"'='''"IIM'
car la normale extérieure à la sphère s se confond avec le rajon
et
do c/c5 A dn dr r-
Comme, sur la sphère, /■ = i, on a, pour ce flux, 0 dt \ I ( ds = ù, T.p A dl.
Pendant l'unité de temps, ce flux est donc 4~pA.
Au point de vue physique, il faut supposer que le mouvement a lieu seulement jusqu'à une certaine distance du point O, par exemple, à l'extérieur d'une petite sphère de centre O et qu'il soit modifié dans cette sphère, car les vitesses ne peuvent pas devenir infinies comme il arriverait, d'aj)rès noire calcul, si le mouvement pouvait exister jusqu'au point O.
