CHAPITRE XXIX. — ATTRACTIOX. POTEXTIEL. 3g
(le surface did de l'intérieur vers l'extérieur est
-r- désignant la dérivée prise suivant la normale extérieure à Télé-
menl. Le flux de force total à travers une surface fermée S est donc
l'intégrale étant étendue à toute la surface. Ce flux est d'ailleurs
égal à — 4~/M'; on a donc
an
oo7. Conservation du flux dans un tube de force. — Imaginons un cliamp produit par l'attraction de masses /;?,, ni-,, . ■ -, m,, elun Uibe de force correspondant à ce champ (n° 549). Soient S et S' deux sections transversales planes ou courbes faites dans ce tube. Supposons que, dans le tube, il ne se trouve aucune masse agissante entre les deux sections. Alors le flux de force traversant la section S dans un certcnn sens, est égal au Jlux de force tras'ersant S' dans le même sens. En efifet, considérons la surface fermée constituée par les deux sections S et S' et les parois du tube. Le flux de force total à travers cette surface fermée est nul, d'après le théorème précédent. Mais le flux de force à travers la paroi latérale est nul, car en un point de la paroi latérale, la force du champ est tangente à cette paroi et sa composante normale est nulle; donc les flux de forces sortant de la surface fermée à travers les sections S et S' sont égaux et de signes contraires. On peut dire aussi que le flux de force entrant par la section S est égal au flux sortant par S'.
Si, entre les deux sections S et S' du tube de force se trouvent des masses agissantes ayant pour somme M', un raisonnement analogue montre que le flux de force entrant par S est égal au flux sortant par S' augmenté de 4 "/M'.
Supposons que le tube ait une section infiniment petite et soient dd et dd' deux sections droites entre lesquelles ne se trouve aucune masse attirante; les forces en dd et dd' sont normales à ces
4o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
sections; en écrivant que les flux sont égaux, on a
Kdj' = K'f/j ';
le long d'un tube de force infiniment petit, la force varie donc en raison inverse de la section droite.
Dans la comparaison avec le mouvement permanent d'un liquide, le tube de force se présente comme un lujau dans lequel circule le liquide. La quantité de liquide traversant deux sections S et S' est la même, à condition qu'entre S et S' ne se trouve aucune prise d'eau; sinon la différence entre ces deux quantités est égale au liquide absorbé par les prises.
Ce théorème montre que les tubes de forces ne peuvent pas s'arrêter brusquement dans la portion de l'espace où ne se trouve aucune masse agissante; car si un tube se rétrécissait de façon à avoir finalement une section nulle en un point, la force deviendrait infinie en ce point. Un tube de force se continue donc jusqu'à ce qu'il revienne sur lui-même en constituant un canal comme un tore, ou jusqu'à ce qu'il s'éloigne indéfiniment, ou enfin jusqu'à ce qu'il rencontre une masse agissante.
Faraday évalue le flux de force à travers une surface, par l'image suivante : Supposons que l'on prenne une unité de surface très petite et appelons tube de force unité, un tube dans lequel le flux de force est égal à i . Nous pouvons alors nous représenter l'espace comme rem|)li de tubes de forces unités placés les uns à côté des autres. Le llux à travers une surface sera sensiblement égal au nombre de ttdjes de forces unités traversant cette surface.
5o8. Équation de Laplace. — Le potentiel
;ni rn^ , , nia
~~ ri r-, " ' ' r„
est une fonction des coordonnées .r, y, z- du point P, finie et continue dans tout l'espace excepté aux centres attractifs eux-mêmes où elle est évidemment infinie. Nous allons montrer qu'en tous les points de l'espace, à l'exception des centres attractifs, elle vérifie l'équation de Laplace
f'U (92 U , oi2U cfx'^ ôy- dz- '
