AU = G

En ellet, en appelant «i , ^n c, les coordonnées du point fixe /»,,

on a

donc

'■i v/(^ — «i)^+(.r — ^i)--+-(^ — Cl)-'

dj^ ^ ri ri

dz^ r?

Ajoutant ces trois expressions, on trouve zéro dans le deuxième membre. Donc

Or, d'après l'expression de U,

AU = /« 1 A !- /??, A 1- . . . -4- m,i A — ,

AU = o.

559. Autre démonstration du théorème de Gauss. — La démonstration du n" 556 a un caractère élémentaire; en voici une autre reposant sur l'équation de Laplace.

1° Soit d'abord une surface fermée S ne contenant dans so/i intérieur aucun des centres attractifs. Le flux de force à travers cette sui'facC; de l'intérieur vers l'extérieur, est

la dérivée étant prise suivant la normale extérieure. La fonction U

ainsi que ses dérivées premières el deuxièmes, étant uniforme et finie dans S, on a, d'après la formule (4) du n" o38,

fintégrale triple étant étendue au volume V limité par S. Mais

on a

lintégrale triple est donc nulle et il en est de même de l'intégrale double. Le jlux de force est donc nul.

2° Soit maintenant une surface fermée S contenant dans son intérieur certains des centres attractifs /??,, m^, ..., nip. Le llux de force à travers celte surface de finlérieur vers l'extérieur est

la dérivée étant prise vers l'extérieur. La fonction U n'est pas continue dans tout l'intérieur de S, car elle devient infinie aux points «î(, w?o, ..., m p {Jig. 288). De ces points comme centres res-

Fis;. 2S8.

pectifs décrivons des sphères 5,. .Ço, .... Sp de rayons très petits, considérons le volume V intérieur à la surface S et extérieur à ces sphères. Ce volume est limité par les surfaces S, 5,, ^2, ..., Sp. Dans ce volume la fonction U est continue, ainsi que ses dérivées; on a donc, d'après la formule (4) du n° o38,

.7 Js+. . , + ..+... ^./'^'^ J J Jw

Wd-z.

la première intégrale étant étendue à l'ensemble des surfaces S.