I. - PROPRIETES GENERALES

7o3. Hypothèses. — Nous supposons un fluide parfait dans lequel la densité est fonction de la pression et qui est soumis à des forces dérivant d'une fonction de forces uniforme U. En posant comme au 11° 729,

on obtient pour Q une fonction uniforme de ^, J>', 5, t et l'on peut écrire les équations du mouvement, dans le système des variables de Lagrange,

C'est de cette forme d'équations que nous déduirons les théorèmes ; on peut donc dire que ces théorèmes s'a|ipliquent toutes les fois que les accélérations d'un fluide dérivent d'un potentiel Q(.r,j',c.^), uniforme dans toute l'étendue du fluide à chaque instant.

7oi. Lignes et surfaces fluides. — ■ D'après ce que nous avons vu dans la théorie générale de la déformation d'un milieu continu, si des éléments iluides sont, à un instant ^q, disposés sur une surface So ou sur une ligne Lq, ces mêmes éléments sont encore, à

d-.r dCf

d' Y àO

r/2 :; dO

dt' ~~ ôx

~dt^ ~ 4^'

dt"- Oz

un autre instant quelconque t, sur une surface S ou sur une ligne L. Nous appellerons la surface S et la ligne L, qui varient de forme et de position avec t, une surface //«/c/e et une W^nejluide.

Too. Constance de la circulation le long d'une ligne fluide fermée. — Considérons les particules fluides («, 6, c) qui, à l'instant initial / = o, sont situées sur une ligne fermée Lg ; à l'instant /, ces mêmes particules auront des coordonnées x, v, z fondions de rt, b. c, t et seront disposées sur une autre ligne fluide fermée L.

La circulation le long de la courbe L à l'instant t est définie (n" 710) par l'intégrale

i = / u (Lr — c dy -;- w dz,

prise le long de cette ligne. Dans cette intégrale t est constant et dx^ dy, dz désignent les projections, sur les axes, d'un élément d'arc ds de la courbe L.

Lorsque t varie, 'la circulation, le long de la ligne fermée jluide L, reste constante. Pour démontrer ce théorème, nous mettrons l'intégrale ci sous une forme plus commode. A l'instant initial, les coordonnées a, 6, c des éléments fluides placés sur L^, sont des fonctions

« = o/;à), ^ = oi(X ), c — ^-iiX),

d'un paramètre A qu'il faut faire varier de a à |j pour obtenir successivement tous les points de Lf,. A l'instant t les coordonnées x^ y, z des éléments correspondants de la ligne fluide L sont des fonctions de «, h, c et f, c'est-à-dire de \ et <,

et A doit varier de a à j ))our que le point .r, y, z décrive la courbe fermée L. Dès lors, en prenant A comme variable dans l'intégrale c/, on a

Cf = / ( u -- -r- K- —^ f- II' -- dk.

.1 V àk 0/. O/J

Celte intégrale dépend de t parce que u, v, (v, -%-, y-} —dépendent