CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
de t. Calculons la dérivée de ci par rapport à ;, en remarquant
,,,,,. , , . du ùQ
que, d après les équations du mouvement (2), -1- = -pj ••• et,
d'après le théorème sur l'interversion des dérivées partielles,
d / dx\ du -^-r
-^ ( -p- ) = -T-' • • •• INous aurons
dt \ d\ ) ôk
dci r^/'^Q dx 00 dy âO ôz du dv ôw\ „
dt J \dx ôl dy ôk ôz Oh ÔL ôk Ok
ce qu on peut écrire
d^ r^ d 'dt
car Q peut être regardé comme fonclion de A par l'intermédiaire de x^y^ z. L'intégrale indéfinie est alors
et, comme elle est prise le long d'une courbe fermée, les deux limites a et ^ donnent le même point x^ r, z, c'est-à-dire les mêmes valeurs aux. fonctions Q, u, v^ iv : l'intégrale est donc nulle. La dérivée de ci par rapport à t étant nulle, ci est constant.
Autre démonstration. — On peut rattacher ce théorème à l'équation qui a été donnée au n" 731 comme généralisant le théorème de Lagrange. Nous avons vu en effet que, t ayant une valeur déterminée et dx, dy, dz désignant les variations de x, y, z qui correspondent à des variations da, db, de des coordonnées initiales, on a
u d.v -f- (' dy -^- II' dz — ( «0 da -^ i'„ db — »\, de ) = dF.
Dès lors, intégrons les deux membres en faisant décrire au point géométrique a, b, c une courbe fermée La et en remarquant que le point correspondant x, y, z décrit la courbe L : l'intégrale du deuxième membre est nulle, car l'intégrale indéfinie F {a, b, c, t) prend les mêmes valeurs au commencement et à la fin de l'intégration, et l'on a
/ u dx ^ V dy -+- n> dz = 1 u^ da -^ t'y db -^ Wq de, «-'l • 'lo
ce qui montre que la circulation le long de L conserve une valeur constante.
Sgo ÉQUILIBRE KT MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
7o6. Expression de la circulation à l'aide du théorème de Stokes. Flux de tourbillon ou intensité tourbillonnaire. — Faisons à linslant t passer par la courbe L une surface simplement connexe S dont cette courbe soit la limite. D'après le théorème du n" o39, dans l'expression duquel on remplace les fonctions P. Q, R par u, r. (ï', on a
u dx -r- i' dr -r- w dz
où l'intégrale double est étendue à tous les éléments d'j de la surface S, a, jj, -' désignant les cosinus directeurs de la normale à
i élément d'y. Lomme les quantités ■ — — —, ■ ■• sont égales aux
^ (Jy Oz ^
doubles des projections ç, 7,, v du vecteur tourbillon ù, on a ' dw dv
Oz
■i{y\-^'pr,^'ÎÇ)
ù/i désignant la projection du vecteur tourbillon au point dy sur la normale à la surface S. On a donc, pour la circulation le long de la ligne L, la formule
(3) ci= 2 1 Ç Un d-.
L'intégrale double du deuxième membre est ce que l'on appelle \e Jlax de tourbillon à travers la portion de surface S, ou encore y inlensilé tourbillonnaire de cette portion de surface.
On peut donc dire que la circulation le long d'une courbe fermée limitant une portion de surface est égale à V intensité tourbillonnaire de cette portion de surface.
Quand t varie, les particules situées sur la surface continue S se déplacent en formant une surface fluide limitée par les positions successives de la ligne fluide L. Le théorème sur la constance de la circulation le long d'une ligne tluide peut donc aussi s'énoncer ainsi :
L' intégrale double 2 1 I il,i dy étendue à une surface fluide ne varie pas avec le temps, ou encore, le flux de tourbillon à
cii.vprrnK xxxv. — théorik des tourbillons. 3(ji
travers une surface Jî aide ne varie pas avec t, ou enfin, l'intensité tourhillonnaire cV une surface fluide est constante dans le temps.
Cas d'une surface fermée. — Il est aisé de voir que le flux de tourbillon à travers une surface fermée tracée dans le fluide est nul. Cela résulte immédiatement de ce que les composantes ^, Yj, L, du vecteur Q vérifient identiquement, d'après 1 urs expressions mêmes, à l'aide des dérivées de u, r, (v, l'identité
^ -^ (Jx Oy dz
Alors, étant donnée une surface fermée S limitant un volume V, la formule (i) du n° 534 (théorème de Grcen), dans laquelle on remplace G, H, R par ^, Tj, Ç, donne
ou, d'après (4),
It'
ch = o.
757. Lignes et surfaces de tourbillon. — Nous avons déjà défini les lignes de tourbillon, à un instant t, comme étant les lignes qui admettent ])our tangente en chacun de leurs points le tourbillon 0(^, r,, Z,) relatif à ce point (n° 707). Ces lignes forment une famille de courbes à deux paramètres telles qu'il en passe une, et une seule, par chaque point dn fluide à l'instant t.
Surfaces de tourbillon . — Une surface de tourbillon à l'instant t est une surface telle qu'en chacun de ses points elle soit tangente au tourbillon en ce point. Sur une surface de tourbillon on peut tracer une infinité simple de lignes de tourbillon : il suffit, en effet, de tracer sur cette surface les lignes telles qu'en chacun de leurs points le vecteur tourbillon leur soit tangent. Inversement, pour obtenir toutes les surfaces de tourbillon, il suffit de prendre une surface engendrée par des lignes de tourbillon : par exemple, on tracera dans le fluide, à l'instant t, une courbe AB et l'on prendra la suite des lignes de tourbillon issues des divers points de AB;
ces lignes forment une surface de lourbillon. Si la courbe AB n'est pas fermée, la surface obtenue est simplement connexe {fig. 332). Si elle est fermée, on obtient une surface en forme de
Fie. 332.
lube appelée tube tourbillon (y?". 333) qui n'est plus simplement connexe. Soient T une surface, 0 le tourbillon en un point de cette surface, Q,^ la composante du tourbillon suivant la normale à T; pour que cette surface soit une surface de tourbillon, il faut et il suffit que l'on ait, en chaque point de T,
—Il — u )
c'est là, en eflet, la condition pour que le vecteur Q soit tangent à la surface.
Pour quW Vinstant t une surface T soit une surface de tourbillon, il faut et il suffit cjue la circulation le long de toute ligne fermée L, tracée sur la surface de façon à limiter une aire S simplement connexe, soit nulle.
En elfet, traçons sur T une ligne fermée L limitant une portion S de la surface {fig. 332); la circulation le long de L est donnée par la formule
ci=-i f f iî„ (h.
Si la surface T est une surface de lourbillon, ci est nulle quelle que soit la courbe L, car il,, est nul. Réciproquement, si ci est nulle quelle cjue soit L, l'intégrale double du second membre est nulle quelle que soit la portion S de la surface T à laquelle elle est étendue; donc l'élément différentiel Q„ est nul et la surface T est une surface de tourbillon.
Intersection de deux surfaces de tourbillon. — L'intersection L de deux surfaces de tourbillon T et T' est une liffne de
