CHAPITRE XXXV. — TIIKORIE DES TOURBILLONS. SgS

tourbillon. En effet, le vecteur tourbillon U, en un point de L, est tangent à la fois aux deux surfaces T et T'; il est donc tangent à leur intersection L.

758. Théorème de Helmholtz. — Les élémenis fluides qui, à un instant to, se trouvent sur une surface ou une ligne de tourbillon, se trouvent encore, à un instant postéiieur cjuelconcjue t, sur une surface ou une ligne de tourbillon.

En effet, soient des particules fluides occupant à l'instant t^ les divers points d'une surface de tourbillon Tq {fig- i'o'i) : à l'instant t ces particules se trouveront sur une autre surface T; nous voulons montrer que T est encore une surface de tourbillon à l'instant t.

Pour cela, traçons sur To une ligne fermée quelconque Lq b mitant une portion Sq de To ; à l'instant t la ligne fluide Lq prendra une position L située sur T et limitant une portion S de T. La circulation a la même valeur le long des lignes fluides Lo et L : elle est nulle le long de Lq, car To est une surface de tourbillon; elle est donc nulle aussi le long de L. Mais L est une ligne quelconque de la surface T, assujettie seulement à limiter une aire S de cette surface; donc T est une surface de tourbillon, d'api'ès les tbéorèmes du numéro précédent. Ou peut dire, en résumé, qu'une surface de tourbillon est une surface fluide.

Le tbéorème analogue pour les lignes de tourbillon en résulte immédiatement. En effet, une ligne de tourbillon à l'instant ^o peut toujours être regardée comme l'intersection de deux surfaces de tourbillon To et T[, à cet instant. Quand le temps varie, les deux surfaces fluides partant de Tq et Tj, varient en restant des surfaces de tourbillon; la ligne fluide (jui leur est commune reste donc une ligne de tourbillon, car, à un instant quelconque, l'intersection de deux surfaces de tourbillon est une ligne de tourbillon.

7o9. Tubes de tourbillon; moment ou intensité d'un tube. — Supposons que, par les divers points d'une courbe fermée G tracée dans le fluide à l'instant t, on mène les lignes de tourbillon parlant de ces points. On formera ainsi un tube appelé tube de tourbillon (Jig. 333). C'est là une surface de tourbillon particulière

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possédant les propriétés que nous venons dindiquer. Si l'on trace sur cette surface une li^ne fermée L limitant à elle seule

une aire S, la circulation le long de cette ligne est nulle.

Mais on peut tracer sur la surface du tube des lignes fermées d'une autre nature, par exemple la ligne C ou la ligne AB entourant le tube; une telle ligne ne limite pas à elle seule une aire sur le tube; la circulation le long d'une telle ligne n'est pas nulle. Dans la Jig. 333, il faut supposer les points a el b confondus, pour que la ligne aABb soit fermée. Nous allons montrer que, pour toutes les lignes de ce genre tracées sur un même tube de tourbillon. In circulation a la même valeur. En efTet, soit EF une deuxième ligne entourant une fois le tube. Menons, sur la surface du tube, une ligne ea joignant un point e de EF à un points de AB, puis une ligne fb infiniment voisine de celle-là. Le contour (7 AB6/'FEea est une courbe fermée tracée sur le tube et limitant à elle seule une aire. D'après le théorème du n° 7o7, la circulation le long de ce contour est nulle. Cette circulation est une intégrale prise le long de ce contour : en la partageant en diverses intégrales correspondant aux différentes parties du contour, on a

ci{ak\ib) -i- ci{bf) -^ ci{f¥Ee) -r- ci(ea) = o,

oii ci (...) signifie circulation le long du contour entre parenthèses. Mais la somme des termes ci{bf) -\- ci{ea) est nulle, car les deux lignes bf et ea sont infiniment voisines et décrites en sens contraires dans l'intégration. On a donc

ci(aXBb)-^ci(/FEe) = o; on en déduit, en remarquant que, la circulation étant une inté-