CHAPITRE XXXV. - T H K O R , E DES TOLRMLLONS

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ne contiennent pas t car ., ., ,. et, par snlte, r, ,, j; sont alors indépendants de t. Ces lignes forment donc, dans l'espace, au po.nt de vue ^éométrl.p.e (//o, 335), „„ système invariable de '§"es 1, 1,, 1 2, ... tel qu'il en passe une et une seule par chaque po.nt occupé par le fluide. Gela ne veut pas dire que les lignes de tourbillon considér,:^es comme lignes fluides soient fixes : les par-

Ucules fluides A, 4., A„ . . . qui, à un instant ., se trouvent sur la bgne géométrique de tourbillon T (». 335), se meuvent en continuant a former une ligne de tourbillon et sont à un autre instant t, sur une autre ligne géométrique de tourbillon T, • à cet instant /,, d'autres éléments fluides sont venus prendre la place des premiers sur la ligne géométrique T.

Dans le cas du mouvement permanen,, les lignes de courant, à un instant t, defin.es par les équations différentielles

(i4) dr dy dz

sont aussi indépendantes du temps et fo.vnent, au point de vue géométrique, un système invariable de lignes G G G- tel

qu'il en passe une par chaque point : ces ligne's se confondcU actuellement avec les trajectoires (n^ 70i); ce sont des lignes fluides fixes, en ce sens que les particules fluides, qui se trou^vent au temps t sur une de ces bgnes, suivent cette ligne dans leur mouvement. On a alors le théorème suivant :

Si le mouvement est permanent, il existe une infinité de surfaces fixes 2 sur lesquelles on peut tracer une infinité de ligtiesde courant et une infinité de lignes de tourbillon.

En effet, soit une ligne de tourbillon quelconque T i^fig. 335), imaginons les lignes de courant C, C), Co, . . . partant des divers points A, A,, Ao, ... de T : ces lignes forment une surface i) répondant à la question. Pour le montrer, considérons les éléments fluides qui, à un instant /, se trouvent en A, A,, Ao, • . . sur T; ces éléments se meuvent en suivant respectivement les lignes de courant G, G), Go, ... et en formant une ligne de tourbillon qui se déplace et se déforme sur la surface S : par exemple, à l'instant ^, , ces mêmes éléments sont en B, B,, Bo, ... sur une ligne de tourbillon T, qui appartient évidemment à la surface S.

Équation des surfaces ï. — Nous avons, dans le n° 737, écrit les équations du mouvement d'un fluide sous la forme donnée par Helmliollz

où H désigne la fonction

II = ■ w- ' ^^

Le mouvement étant permanent, m, c, w, p ne dépendent pas de /; en outre t ne figure pas dans la fonction des forces U, de sorte que H est une fonction de .r, y^ z. Les équations (i5) du mouvement peuvent alors s'écrire

Nous allons montrer que les surfaces S ont pour équation (17 ) II = const.

l'oiir cela, nous commencerons par montrer que H est constant le long d'une ligne de tourbillon et le long d'une ligne de courant.

Appelons c/.r, cfy ^ dz les projections sur les axes d'un élément d'une ligne de tourbillon : d'après les équations (i3), ces projections sont proportionnelles à ç, r;, X^ et l'on a, en appelant \ la

Ox ^^

du