CHAPITRE XXXV. — TIIICORIE DES TOURBILLONS. 4o

valeur commune des rapports (i3),

d'aulre part, la variation de H le long de la ligne de tourbillon est

dx dy -^ ûz \' ôx ' dy ^ dz J '

d'après les équations (iG), cette variation est évidemment nulle et H est constant le long de la ligne de tourbillon.

De même, si Ton appelle dx, dy, dz les projections d'un élément d'une ligne de courant (i4), on a, en appelant [j. la valeur commune des rapports {^ i),

dx = IX u, dy — IX V, dz = ijLCf ;

d'où, pour la variation de H le long d'une ligne de courant,

;„ '^n , '^H . dU , l dW (9H d\\\

di- dy ' dz ' \ àx dy Oz j

quantité nulle d'après les équations (16); H est donc constant le long d une ligne de courant. C'est ce que nous avons déjà vu au n" 7i2.

Il est alors aisé de voir que H a une valeur constante sur une surface S : en eiïet, H a une valeur constante sur une ligne de tourbillon T tracée sur cette surface et une valeur constante sur une ligne de courant C de cette même surface; ces deux valeurs sont égales, car les deux lignes ont un point commun A. Le théorème est donc démontré.

Remarque. — Si le mouvement permanent était irrolationnel, le tourbillon q, r,, J^ serait nul; alors H serait constant dans tout l'espace occupé par le fluide; c'est le théorème du n" 7i7.