CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 4o

mais la surface S étant tout entière dans la partie sans rotation, le tourbillon ù est nul sur S, donc Q^ est nul et la circulation est nulle. Il en résulte que la variation de la fonction o, suivie par continuité le long de la ligne L, est nulle.

Etudions maintenant la circulation le long des diverses courbes qu'on peut tracer dans la partie sans rotation à un instant t.

Différents cas sont à distinguer, suivant ïordre de connexion du volume occupé par cette partie :

i" La partie sans rotation occupe un volume simplement connexe. — Rappelons qu'un volume est dit simplement connexe quand toute ligne fermée tracée dans ce volume peut, par continuité et sans sortir du volume, être réduite à un point; le volume d'une splière est sim[)lement connexe; le volume d'un tore ne l'est pas, car une courbe fermée tracée dans l'intérieur du tore, de façon à faire un tour autour de l'axe du tore, ne peut évidemment pas être réduite par continuité à un point sans sortir du tore.

Il résulte immédiatement du théorème fondamental précédent que, si le volume occupé par le fluide sans rotation est simplement connexe, la circulation le long d'une ligne quelconque de ce fluide est nulle et que le potentiel o est uniforme dans ce fluide.

2" La partie sans rotation occupe un volume doublement connexe. — Un volume est doublement connexe lorsqu'en menant une seule cloison, analogue à un mur de refend plein, on peut, sans morceler le volume, le rendre simplement connexe. L'exemple

le plus simple est fourni par le volume intérieur à un tore {/'S'- ^^^) ' ce volume n'est pas simplement connexe, mais, en menant une cloison telle que AB suivant un plan méridien du

4oG ÉQL'ILIBKE I-T MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

lore, on rend Je volume intérieur simplement connexe. Avant le tracé de celte cloison (ou coupure) on pouvait mener dans le volume deux espèces de lignes fermées.

Les unes, comme L, peuvent se réduire à un point par continuité sans sortir du volume; la circulation le long de ces lignes est nulle, ainsi qu'il résulte du théorème fondamental.

Les autres, comme L, , ne peuvent pas se réduire à un point par continuité : elles font un ou plusieurs tours autour de l'axe du tore. Prenons une ligne L, faisant un tour : nous allons montrer que la circulalion a la même valeur constante le long de toutes les lignes de ce genre. Pour cela, considérons deux lignes li, cl L', faisant chacune un tour autour de l'axe : prenons sur L, deux points C et D infiniment voisins l'un de l'autre, situés de part et d'autre de la cloison AB; prenons sur L', deux points infiniment voisins C et D' placés de la même façon, et joignons CC et DD' par deux lignes infiniment voisines, placées de part et d'autre de la cloison AB. La ligne CL, DD'L',C'C est une ligne fermée de la première catégorie pouvant, par continuité, être réduite à un point sans sortir du volume. Donc, la circulation le long de cette ligne est nulle, et l'on a

c£(GLiD)-^ct(DD')-i-c/(D'L', C')^-c/('G'C) = o.

Mais les deux lignes CC et DD' étant infiniment voisines, on a

c/(DD') = cf(CG') =— c/(C'G);

on en conclut

cf(GLiD) -4- ci{ D'L'i G') = o, ci(GL,D) = c«(G'L', D'j.

Le théorème est donc démontré.

Ainsi, sur toutes les lignes L faisant une fois le tour de l'axe du tore, la circulation a une même valeur a, constante avec le temps : on a|)pclle cette constante le module de ces lignes.

Il est aisé de voir que, si une ligne fermée tracée dans le volume fait deux tours autour de l'axe du tore, la ciixulation le long de celte ligne est 2 [j.,, etc.

On conclut de ces théorèmes que le potentiel o des vitesses n'est plus nécessairement uniforme dans le volume doublement connexe considéré; en effet, la circulation le long d'une ligne

CKAPITRIi XXW. — TI1É0RII-: DES TOURBILLONS. f\0-]

fermée L, de C en D eslla variallou cp (D) — C5(C) de la fonclion cp suivie par continuilé de G en D, D étant intiuimenl voisin de G; ornons venons de voir que cette circulation est p., ; la fonction cp suivie par continuité prend donc aux deux points infiniment voisins G etD des valeurs différant de la constante ^i. Après le tracé de la cloison AB, le volume est devenu simplement connexe : la fonction o est alors uniforme dans ce nouveau volume, mais les valeurs cpi'elle prend en deux points infiniuient voisins l'un de l'autre, placés sur les deux faces de cette cloison, diffèrent de [x,. Un autre exemple intéressant de volume doublement connexe est fourni par l'espace indéfini extérieur à un anneau A i^fig- 33^): on peut, dans cet espace, tracer deux espèces de courbes fermées:

Fis. 337.

les unes, L, ne passant pas dans l'anneau et pouvant, par suite, eue réduites par continuilé à un point sans sortir du volume; le long de ces lignes, la circulation est nulle : les autres, L| , passant une ou plusieurs fois dans l'anneau; le long de toutes les lignes L, passant une fois dans l'anneau, la circulation a la même valeur constante p.1 appelée le module de ces lignes; le long des lignes passant deux fois dans l'anneau, elle a la valeur 2ai, etc. On peut actuellement rendre le volume simplement connexe en fermant l'ouverture de l'anneau par une cloison : la fonction ce est alors uniforme dans le nouveau volume ainsi obtenu, mais ses valeurs en deux points G et D, infiniment voisins de part et d'autre de cette cloison, difl'èrenl de u,. Ge cas se présente |>bjsicpiement lorsqu'un seul anneau de tourbillon A se meut dans un fluide indéfini sans rotation : le fluide sans rotation occupe alors précisément un volume comme celui que nous venons de considérer. Le module u, est l'intensité de l'anneau de tourbillon A, comme on le voit en considérant une ligne ti, passant dans l'anneau, infiniment près de la surface de l'anneau.

3" Volume triplement connexe. — Un volume est triplement connexe quand on peut le rendre simplement connexe par deux

4o8 ÉQIILIBUE ET .MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

cloisons : tel serait, par exemple, le volume indéfini extérieur à l'ensemble de deux anneaux A, et Ao { fig' 338). On peut tracer dans ce volume trois espèces de lignes fermées. Les premières, L, peuvent être réduites par continuité à un point sans sortir du vo-

lume; la circulation le long de ces lignes est nulle. Les deuxièmes, L, , passent dans l'intérieur de l'un des anneaux : si elles y passent une fois, la circulation le long de ces lignes est une constante \x^ appelée module de ces lignes, f^es troisièmes, Lo, passent dans l'intérieur du deuxième anneau; si elles y passent une fois, la circulation le long de ces lignes est une constante 'J-o, appelée module de ces lignes. Une Ijgne telle (pie L'L" traversant une fois chaque anneau donne pour la circulation la valeur ui,-l- uio ; en effet, en joignant deux points AB de cette ligne par une courbe passant à l'extérieur des deux anneaux, on voit que la circulation le long de la ligne L'L" est la somme des circulations le long des lignes BAUB et ABL"A, car

cj(BA)-=-ci(AB) = o:

cette circulation est donc bien u., -\- 'j..,.

Actuellement, on rendrait le volume indéfini simplement connexe à l'aide de deux cloisons fermant l'une l'anneau A(, l'autre l'anneau Ao. La fonction ca serait uniforme dans ce nouveau volume: la différence de ses valeurs en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la première cloison serait a,; en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la deuxième cloison, jj-o. Ce cas se présente physiquement quand deux anneaux de tourjjillons se meuvent dans un lluide indéfini sans rotation.

Un autre exemple de volume triplement connexe serait le volume d une salle parallélépipédique dont le plafond serait supporté par deux colonnes.