CHAPITRE XXW. — THÉORIE DES TOURBILLOXS
4° Connexion cU ordre n. — On traitera de même les volumes dont la connexion est d'ordre n et dont les Ijpes sont un volume indéfini avec n — i anneaux ou une salle dont le plafond est supporté par n — i colonnes : à l'aide de n — i cloisons, on rendrait ces volumes simplement connexes.
76 i. Extension à un champ quelconque de vecteurs dérivant d'une fonction. — Tout ce que nous venons de dire de la circulalion dans la partie irrotationnclle, s'étend évidemment à un champ uniforme de vecteurs u, <-, w dérivant d'une fonction o. Si le volume du champ est simplement connexe, -j est unifoime dans le champ. S'il est à connexion multiple d'ordre n, la fonction cp n'est pas nécessairement uniforme. On peut rendre le champ simplement connexe à l'aide àe n — ^ i cloisons : la fonction ca est alors uniforme dans ce nouveau champ, mais ses valeurs en deux points infiniment voisins, placés de part et d'autre d'une des cloisons, dilTèrent d'une constante a, relative à cette cloison. Il j a ainsi n — I modules u.,, a^, ,.., [jl/,, correspondant aux n — i cloisons.
III. — DÉTERMINATION DES VITESSES EN FONCTION DES TOURBILLONS DANS UN LIQUIDE INDÉFINI; MOUVEMENT DES TOURBILLONS.
765. Énoncé du problème général. — Quand, dans le mouvement d'un fluide, on connaît, à un instant /, les projections «, r, w de la vitesse d'une particule quelconque en fonction de .r, j', ^, on en conclut immédiatement, par des différenliations, les projections ^, r^, ^ du lourljillon pour chaque particule.
On peut se poser le problème inverse, que nous r('soudrons dans des cas particuliers. Supposons que, dans un fluide en mouvement, on connaisse la distribution des tourbillons à un instant, c'est-à-dire ç, Yj, ^ en fonction de j:, j)', z, et proposons-nous d'en déduire «, v^ iv.
Si nous pouvons résoudre ce problème, nous pourrons trouver le mouvement des tubes et anneaux de tourbillons, car, une fois w, (', (v trouvés, nous connaîtrons la vitesse de chaque élément d'un tube ou d'un anneau de tourbillons. Nous pourrons, en particulier, déterminer la vitesse de déplacement de la surface d'un
4lO ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
tube OU anneau de tourbillon en cbaque jtoint. Nous supposerons, dans ce qui suit, u, r, iv conlinus dans le fluide.
766. Cas d'un liquide. — A oyons coiiunent le problème se pose pour un liquide incompressible contenu dans un vase fixe qu'il remplit entièrement ou pour un liquide indéfini.
Nous supposons ^, r,, ^ donnés en fonction de x, y, z- dans toute l'étendue du liquide à un instant. Pour les éléments dénués de rotation, ^, r,, ^ sont nuls; pour les autres, ces quantités sont difTérenles de zéro. Il faut donc, ainsi que nous l'avons expliqué, regarder le liquide comme constitué par des tubes et anneaux de tourbillon dans lesquels ^, y,, Z sont des fonctions dififérenles de zéro, entourés d'une portion de liquide sans rotation dans laquelle ^, r, , 'C sont nuls. Dans la niasse totale, ;, y,, "C sont donc des fonctions discontinues de x, -)', z, car ces fonctions nulles à l'extérieur des tubes et anneaux de tourbillon sont différentes de zéro à l'intérieur et sur la surface de ces tubes et anneaux.
Il faudra alors déterminer u, c, (v par les conditions suivantes :
i" On doit avoir dans tout le fluide
div
dv
du
dix-
ds
~ dr
dv
du
2° Les fonctions a, r, <v doivent, dans tout le fluide, vérifier I équation de continuité pour les liquides :
du di' div dcc dy dz
3" Sur les parois du vase, la vitesse doit élre tangente aux j)arois, de sorte qu'en appelant a, ^, y les cosinus directeurs de la normale à une paroi, on doit avoir, sur cette paroi,
(lo) a i< M- fj (' 4- Y «' = o ;
si le vase est indéfini, le mouvement doit être nul à Tinfini, c'està-dire que w, r, w doivent être nuls à l'infini.
CHAPITKK \X\V. — TIIÉORIK DES T 0 l K B 1 I-L ON S . 4ll
Pour que le problème ainsi posé ait une solution, il faut évidemment que les fonctions données ç, t,, "C vérifient identiquement
la relation
Oz ^ àr^ à':
dx ôy
qui résulte immédiatement des trois équations (i8). INous supposerons que celle relation ail lieu.
On peut alors élablir la proposition suivante :
Si le vase est simplement connexe, les trois conditions indiquées déterminent complètement le problème, en ce sens que celui-ci n'admet qu'une solution.
En effet, supposons un instant qu'on puisse trouver deux systèmes de fonctions ?^,, c,, (v, et u.. t., «v, remplissant les trois conditions indiquées. D'abord, en écrivant que les conditions (i 8) sont vérifiées par les deux systèmes de fonctions, et relranchanl membre à membre, on a les trois conditions
(){ tv, — H'.,) àii'i — r, ) oy ôz
qui montrent que les différences ?/, — ^/,, c, — i\>, «v, — it ., sonl les dérivées partielles d'une même fonction '-p(.r, r, z) :
ir 9
âx
Oz
Ensuite, en écrivant les deux équations de continuité (19) et retranchant membre à membre, on a
à( Ui — II, ) ^ ()(vx — V.2) ^ di^vi — (ï'.> ) dx ' dy ' dz ^
ou encore
Ao = o.
Enfin, sur les parois du vase, on a, d'après (20),
a «1 -r- 3 l'i -^ Y (l'i = o, aM,-t- ^i'2-l- ^(w.2 — o,
4r->. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
d'où, en retranchant,
c'est-à-dire
cln
la dérivée étant prise sui\ant la normale à la paroi.
Dès lors, si le vase est simplement connexe, on voit, par un raisonnement identique à ceux des n'^^ 763-764 du paragraphe précédent, que l'intégrale
(ui — Ui ) dx -^ ( fi — fo ) dy -+- ( «ï'i — tfo ) dz
est nulle le long de toute courbe fermée tracée dans le vase et, par suite, que a est uniforme dans le vase.
Cette fonction uniforme o est alors, dans le vase, une fonction
harmonique partout finie et telle que -y- soit nul sur les parois :
cette fonction est constante (n" 594). Donc les dérivées partielles de C5 par rapport à :r, y^ z sont nulles et l'on a
Ui — iii, vi —. fo, "'i = "-2 ;
la solution est unique.
La conclusion serait la même si le vase était indéfini, car le
, , ,,. ^ . do d's> do . ^ , .
mouvement étant suppose nul a I inhni, -v^) V^> V- seraient nuls a Il ax ay oz
l'infini et la Ibnction harmonique uniforme es serait encore constante dans le vase.
Remarque sur le cas où le vase ne serait pas simplement connexe. — Si le vase était à connexion multiple, les conditions indiquées ne suffiraient plus à déteruiiner com|)lèlement le problème. Prenons, par exemple, un vase doublement connexe, comme un tore {Jig- 336). Pour pouvoir affirmer que les deux solutions M|, (',, w^ et i^oi ^"2? ^"^i sont identicpies, il faudrait, en outre, leur imposer celte condition que l'intégrale
(22) \ ( H\ — «2) dx -4- (t'i— i'i)dy -T- (ir, — kv-i) dz,
