CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 43j
En comparant aux formules (37) on en déduit la composante s de la vitesse suivant le rayon vecteur
ûz
En résumé, une fois l'intégrale S calculée, on obtient immédiatement la distribution des vitesses par les formules (00) et (5i).
Équation différentielle que vérifie la fonction S; current function de Stokes. — Nous avons vu, dans le cas général, que P Q, R vérifient les trois équations
la troisième équation est identique, car R et (^ sont nuls. Si, dans les deux autres, on remplace P, Q par —SsinQ, ScosO et i, r, par — Osin8, OcosO, elles donnent une même équation aux dérivées partielles définissant S en fonction de q et z. On peut obtenir cette équation d'une façon plus rapide en se servant de l'expression (4o) du tourbillon
i\dz dq j
Si, dans cette expression, on remplace s et w par leurs valeurs (Sa) et (5i), on a immédiatement pour S l'équation aux dérivées partielles
où 12 est nul en dehors des aires A,, A2, ... et a une valeur donnée dans l'intérieur de ces aires. Au lieu de S, on introduit quelquefois une autre fonction que Basset appelle Stokes current function. Posons
les formules (ya) et (oi) donnent
(5o) qs = -, f/(v=--i.
Oz ^ dq
La distribution des vitesses est donc connue d'une manière simple dès que l'on connaît '|.
Cette fonction définit les lignes de courant : remarquons en effet que ces lignes sont actuellement situées dans des plans passant par Oz; dans l'un de ces plans, elles ont pour équation différentielle, à l'instant t.
dq dz s w
ou
w dq — s dz ^ o, c'est-à-dire
d')^ = 0, t]^ = const.
Ainsi, les lignes de courant ont pour équation -L = const.
Remarquons enfin qu'en éliminant 'l entre les deux, relations (55) on a l'équation
d{qs) ^ diqw) dq dz ~ '
qui n'est autre chose que l'équation de continuité d'Euler dans les hypothèses actuelles (n° 740).
Cas d'un seul anneau infiniment délié. — Supposons qu'il existe, dans un liquide indéfini, un seul anneau de tourbillon infiniment délié affectant la forme d'un tore d'axe O^ entouré de liquide irrotationnel. Soient d's la section droite de cet anneau, Q' la valeur du tourbillon constante en grandeur tout le long de l'anneau, q' le rayon de cet anneau à l'instant t et :;' la cote de son plan.
Actuellement, les sommes (44) P et Q comprennent un seul élément : P et Q se réduisent à P' et Q', et S à S',
iï q' da r~" cosz dz
Dans cette intégrale, on peut intégrer seulement de o à :: et doubler le résultat; on a ainsi, en mettant en évidence l'intensité
I = - Q' rfT ■2
de l'anneau, et faisant 'l = S'^,
coss dt
y/{z — z'Y-\- q^-^ q"^— "i-qfj' cose
