CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

anneau infinimenL délié, puis la somme de ces sommes. Or, pour un anneau inlîniment délié, y', ^' et ch sont constants tout le long de l'anneau, 0' varie de a à a+ 27:, a étant un angle arbitraire. La somme des éléments de chaque intégrale relative à cet anneau infiniment délié est donc

sinO'f/O' 1 "" «^ a

)sO'r/0'

Une fois ces quantités P' et Q' calculées, il restera, pour avoir P et Q, à faire la somme des quantités analogues pour tous les anneaux inlîniment déliés dont sont composés les anneaux donnés-, les deux sommes

seront des intégrales doubles étendues à tous les éléments dn des aires A,, Ao, . . • , suivant lesquelles un plan passant par O:; coupe les anneaux considérés.

Les expressions de P' et Q' peuvent être simplifiées de façon à amener P' et Q' à dépendre de la même intégrale. Pour cela, faisons, dans l'intégrale qui donne P', le cliangement de variable

£ étant la nouvelle variable qu'il suffira de faire varier de o à 27: pour que Q' varie dans nn intervalle d'étendue '1t.. On aura

S)' = (h, sinG'= sinO ces s + cosO sins,

Il E rh

Mais, dans le deuxième membre, la deuxième intégrale est nulle, car les éléments de celte intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires; on a donc

On trouve, parle même calcul,

/"'''^""cosO'f/O' , r-~coszdt I = cosO / .

Ce qui donne, pour P' et O', les formules définitives que l'on peut écrire

(46) P'=— S'sinO, Q'=S'cosO,

S' désignant l'intégrale elliptique

sur laquelle nous reviendrons plus loin.

En faisant la somme de ces valeurs de P' et Q' pour tous les éléments ch des aires A, , A,, . . . , on a enfin pour P et Q des expressions de la forme

(48; P=— Ssine, Q = ScosO,

S désignant l'intégrale

qui est fonction de ^, z et t. Cette intégrale étant calculée, on a P et Q en fonction de 9, q^ z et /, ou encore en fonction de x^y^ z^ t^ car ^ et 0 sont des fonctions de x et i' définies par les formules (38). I^es fonctions P et Q étant connues, les composantes «, v^ w de la vitesse sont données par les formules (4i)' ^^i ^"^ a, en difTéreuliant (48) et tenant compte des formules (38),

dV d^ . . OQ OS

-T- = r-sinO, — = -r-cosO,

oz oz Oz Oz

^P àS . „. S

dy Oq q

donc

-— = — cos^O — - sin^O.

ox dq q

àS . <^S . .

^ ' ()z Oz '

dq dP àS . S (5i) iv = -^p — -- = — -^ -

dx dy dq q