CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

on a, en efiPet,

k- étant une quantité positive qui est moindre que i , quand q el z ont des valeurs quelconques (q'^o), et qui devient égale à i lorsque q = q\ z- = ;', c'est-à-dire lorsque le point de coordonnées q, z vient sur l'anneau. Introduisons le module complémentaire /.' par la formule

cette quanlité k' est infiniment petite au voisinage de l'anneau; géométriquement, la valeur de k' pour une position P(^,5) du point P du fluide s'obtient en prenant les deux points A et B où le plan ^OP coupe l'anneau infiniment délié, et en écrivant

A étant celui des deux points qui est le plus rapproché de P.

La formule (58) permet d'étudier la fonction 'h pour une position quelconque du point du fluide q^ z : on pourrait, par exemple, développer '^ en une série procédant suivant les puissances positives croissantes de k. Nous nous bornerons à étudier ce qui se passe au voisinage de l'anneau : quand le point P(7, z) du fluide est infiniment voisin de l'anneau, q est voisin de /y', :; de z' ^ A" de i , et l'intégrale qui figure dans ']> est infiniment grande. INous allons mettre en évidence la partie principale de 'h pour des valeurs de k voisines de i, ou, ce qui revient au même, pour des valeurs de k voisines de zéro. C'est là un problème qui se rattache à la théorie des fonctions elliptiques, mais que nous traiterons directement par un procédé élémentaire.

Ecrivons

(6o) J;="il^'n,

en désignant par H l'intégrale

et comparons cette intégrale à l'intégrale élémentaire

Si l'on fait la différence de ces deux intégrales, en les réunissant sous un même signe / , on a

,, , , /*'2sin'ci5 — sincD — i , H — A = A- / ■ do.

2 sin^cp — sincD — i V'i — A^ sin^o

et l'on vérifie immédiatement que cette différence prend, pour k ^ i , la valeur finie

1 sin^ç — sincp — i

do.

facile à évaluer par les méthodes élémentaires. Evaluons l'intégrale À : en y faisant

COS'f == c,

on trouve immédiatement

L désignant un logarithme népérien. D'après cela, a devient infini pour k' =z o, mais A -1- LA' reste fini. Or nous avons vu que H — A reste fini pour /:'= o ; nous pouvons donc dire que la quantité

reste finie pour /:'= o; ce qui donne pour valeur approchée de H, quand k' est très petit,