CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

En se bornanL à cette partie principale, on en déduit, pour s et (V, les expressions suivantes au voisinage de l'anneau :

i ^ g dz

■il /q[ dLk'

~T.\ q Oz

4V'?"-Ti/

■^g' dLk' g dg " -g\ g "" - \ g dg

D'après la valeur (09) de A', on a (63)

dL A'

\gg'{z — z')

dz dLk'

dg

en substituant dans (62) et faisant tendre z vers z' et q vers q' . on a les composantes de la vitesse au voisinage de l'anneau. Imaginons que l'anneau soit un tore engendré par un cercle infiniment petit de rayon e ayant son centre à une distance q' de O^ et à une cote y. Pour obtenir la vitesse de progression de l'anneau dans le sens Os, il faut, d'après le théorème du n" 772, prendre, au point M du tore {Jig. 34o) où le plan tangent est perpendiculaire à Oz, la composante de la vitesse normale au tore, c'est-à-dire

/fWp

la valeur de w en ce point. Il faut donc calculer w pour

e étant infiniment petit. Or, en ce point M, on a

{z~z')-^-^{g — g'f= £2, (^z-z'Y^{g-^gy=^\g'\

en négligeant t- devant 4ç'''i 'es expressions précédentes (o9)et(63) montrent qu'au point M, A' est égal à — ^, > tandis que la dérivée

prend une valeur finie qu'il est inutile d'écrire. On a alors,

pour la partie principale de la vitesse Wp de progression de l'anneau dans le sens O;, l'expression suivante obtenue en |)ortant

les valeurs ci-dessus de k' et dans <v et en y faisant q =:^- c/ :

(64) Wp = -~L-^,~...,

les termes non écrits étant finis. Le logarithme est négatif et très grand, car s est très petit; donc Wp a une \z\ç.\\v positive très grande. Vanneau se déplace le long de Oz dans le sens po- -<itif, c'est-à-dire dans le sens dans lequel se meuvent les particules fluides placées dans l'ouverture de l'anneau, au centre par exemple. Seulement, la vitesse de cette progression est très grande par rapport à la vitesse de la particule fluide qui se trouve au centre.

En s'appuvant sur la théorie des fonctions elliptiques, on pourrait facilement calculer '\i au voisinage de l'anneau avec une plus grande approximation, et en déduire pour Wp une valeur plus a|)prochée. Nous renverrons pour ce point au Traité de Basset, t. II, p. 62, où Wp est donné avec \\\\ terme de plus : on vérifiera que la différence entre la valeur que nous donnons pour w p et celle que donne Basset est finie pour s =^ o.

Deux anneaux circulaires de même axe. — • Nous nous bornerons, pour ce cas, aux indications suivantes, déjà données en grande partie par Helmlioltz dans son Mémoire du Tome 00 du .Journal de C relie.

On peut voir comment se comportent deux anneaux de tourbillon circulaires et infiniment déliés de même axe, en remarquant que chacun d'eux possède, d'après ce qui précède, sa vitesse de progression propre, et obéit en outre aux vitesses provenant des tourbillons de l'autre. Si les tourbillons des deux anneaux sont orientés dans le même sens, les anneaux se déplacent dans le même sens : celui qui marche en avant grandit en même temps que sa vitesse diminue, celui qui suit diminue en même temps

niAlMTRE XXXV. - TIIÉORIK DES TO l" H 15 I L LO N S . 44'

que sa vitesse augmente; dans le cas où les vitesses de propagation des deux anneaux ne sont pas trop différentes, il peut arriver que le deuxième anneau rattrape le premier et le dépasse en passant au travers : à partir de cet instant, le même phénomène se reproduit, de sorte que les deux anneaux passent alternativement l'un dansl'autre. Celte question a été éludiéeen détail par J.-J. Thomson en i883.

Si les tourbillons des deux anneaux sont orientés dans des sens opposés, les deux anneaux marchent l'un vers l'autre ; le plus petit se ralentit, grandit et traverse l'autre qui s'est dilaté pour le laisser passer en se ralentissant s'il n'est pas très grand, en s'accélérant, au contraire, s'il estbeaucoup plus grand. Après cela lotis les effets changent de signe, et les anneaux se séparent en général. Il ne semble pourtant pas impossible que l'un des deux, plus intense et plus grand, entraîne l'autre dans son mouvement de translation, chacun oscillant autour d'une position moyenne (*). Si les deux anneaux tourbillonnaircs sont, au début, égaux et de sens contraire, c'est-à-dire symétriques l'un de Tauti-e par rapport à un certain plan P, ils se meuvent en restant symétriques par rapport à ce plan; les particules fluides situées dans le plan P restent immobiles; le plan P divise alors le liquide indéfini en deux portions symétriques; le mouvement de l'une de ces portions est Vimage du mouvement de l'autre par rapport au plan (n° 751). On pourrait alors supprimer toute la portion du iTuide située d'un côté du plan P, à condition de réaliser matériellement ce plan, le mouvement de l'autre portion ne serait pas altéré. On peut ainsi, par la méthode des images, se rendre compte du mouvement d'un seul anneau de tourbillon circulaire infiniment délié dans un liquide indéfini occupant la partie de l'espace située d'un côté d'un plan fixe P, le plan de l'anneau étant parallèle au plan P : l'anneau grandit indéfiniment en s'approchant du plan, en même temps sa vitesse de progression diminue, de sorte que l'anneau n'atteint pas le plan.

(') Brillouin, Recherches récentes dliydrodynainique {Annales de la Faculté de Toulouse, iSiji).

44'^ KQLlLIltRE ET MOLVEMKNT DES M I E I E U X CONTINtS.

IV. — DETERMINATION DES VITESSES EN FONCTION DES TOURBILLONS DANS LE CAS GÉNÉRAL.

77o. Liquide contenu dans un vase. — îNous avons, au n" 76o, posé le problème général de Ja cléteriiiinalion des vitesses en fonction des tourbillons et nous l'avons résolu pour un iicpiide indéfini dans lecpiel la vitesse est continue.

Imaginons maintenant un liquide dans un vase fermé fixe qu'il remplit entièrement : alors, en un point de la paroi S, la vitesse est tangente à la paroi. Nous pouvons ramener ce cas à celui d^in liquide indéfini par l'artifice suivant.

iNous pouvons évidemment, sans changer l'état du liquide intérieur, supprimer le vase en supposant tout l'espace extérieur à la paroi S rempli par un liquide identique au premier, assujetti à rester immobile. Nous aurons alors un liquide indéfini, mais nous ne pourrons pas encore appli(juer les formules du paragraphe précédent, car, actueltement, les vitesses ne sont pas continues dans le liquide indéfini : à l'intérieur de la surface S formant la séparation du liquide considéré et du liquide immobile extéiieur, la vitesse est différente de zéro; à l'extérieur de celle surface S elle est nulle.

Pour éviter celle discontinuité, imaginons qu'il y ait une couche de passage d'épaisseur très petite t comprise entre la surface S et une surface parallèle S' obtenue en portant sur les normales à S une longueur très petite e: dans cette couche, la vitesse sera supposée varier très rapidement d'une manière continue, de sorte que, à l'intérieur de S, elle ait la valeur qu'elle a réellement dans le mouvement et, à l'extérieur de S', la valeur o. Nous aurons alors un liquide indéfini dans lequel la vitesse est continue et auquel nous pourrons appliquer les considérations du paragraphe précédent.

On peut préciser davantage et montrer que cette couche de passage est équivalente à une nappe de tourbillons. Prenons d'abord le cas oii la paroi S serait un plan {"we ayant pour équation

ax -+- ^y -4- Yi; r=: /*,