CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

pour déterminer ces quatre fonctions, on peut assujettir ces fonctions à remplir une condition supplémentaire que nous choisissons ainsi : en posant, comme au n" 767,

dP dQ oR ox oy oz nous ferons

On a alors, comme au n" 767,

j <Jn> t)i> âM ^^ ~ Jr ~ dz ^ 'âx ^

Comme M est nul, ces relations deviennent

^P=—^i'z, AQ= — 27], ARr=-2Ç,

d'où

---.fffï"^

Ces expressions de P, Q, R entraînent d'elles-mêmes, comme nous l'avons vu, la condition M = o.

11 reste à écrire la dernière des équations (69) exprimant que la vitesse de dilatation cubique est donnée. On a ainsi, en remplaçant u, ç, (V par leurs expressions (70),

d'où, en se reportant à la théorie du potentiel newtonien,

(73) *=-^///?:rf,,

B' étant la valeur de 0 dans l'élément ch = dx' dy' dz' et r désignant comme plus haut la dislance

Les fonctions P, O, R, $ étant ainsi calcidées, les formules (70) donnent m, t^, w.

En interprétant ces formules, on voit que le vecteur vitesse W(w, t^, w) est la somme de deux vecteurs, le premier W ayant

418 ÉOriLinUK ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

pour projections

^ -' ôx ôy (Jz

le deuxième \V' ayant pour projections

( VV" ) Il = -^ 1 ■ ■ • •

^ '' Oy dz

Les vitesses W dérivent du potentiel <t> défini par la relation (73); elles sont identiques aux attractions newtoniennes qui seraient exercées sur un point de masse i par une masse continue

avant pour densité —7:: aux divers points x\ y' , z' de l'espace.

Quant aux vecteurs W", leur distribution a été étudiée en détail au n" 768; nous v avons vu quelle est la part contributive de chaque élément tourbillonnaire d^: dans la vitesse W" d'un point quelconque.

Analogie électromagnétique. — Le vecteur W est identique

à la force magnétique.due à une distribution de densité — T~'^^

vecteur W" est, comme nous l'avons vu p. 421? identique à la force électromagnétique produite par une distribution de courants électriques suivant les tubes de tourbillon.

Espace limité. — Les conclusions précédentes s'appliquent à un fluide occupant un espace illimité dans tous les sens. Pour un espace limité par une surface fixe S, on j)eut procéder comme dans le cas d'un liquide (n"77o). ISous renverrons, pour les développements relatifs à cette question, à un Mémoire de Boltzmaun (^1871) et au Travail déjà plusieurs fois cité de M. Brillouin, Reclierclies récentes d' hydrodynamique {Annales de la Faculté de Toulouse^ i890-

777. Production expérimentale des tourbillons. — On trouvera, dans ce même Travail de M. Brillouin, d'intéressantes indications sur la production expérimentale des tourbillons. Nous lui emprunterons le passage suivant :

Pour lancer une masse de gaz animée d'un mouvement de rotation, on profile du frottement superficiel et interne; pour la rendre visible, on la charge de fumée. Tait et Thomson ont vulgarisé un appareil formé d'une grande boîte cubique en bois dont une face a été remplacée par de la toile