CHAPITRE XXXV. — TIIÉORIK DES TOURBILLONS

a, [i, Y étant les cosinus directeurs de la normale au plan du côté où se trouve le liquide au repos : et supposons que, dans le liquide en mouvement, placé de l'autre côté, la vitesse ait une valeur co/istante u^, t^i, w,, nécessairement parallèle au plan. La couche de passage sera alors comprise entre le plan S et le plan parallèle S' très voisin

situé à la distance t du premier. Prenons comme expressions des projections de la vitesse dans cette couche

-xx -4- Pjk -\-^{Z — h

IV = CVi I —

Ces expressions sont évidemment égales à ;f, , t', , w^ sur le plan S et à o, o, o sur le plan S'; de l'un à l'autre, elles varient d'une manière continue. On a alors, en calculant le lourbillon dans la couche de passage,

avec des valeurs analogues pour-^ et î; ; on voit que ce tourbillon a une valeur très grande, qu'il est parallèle au plan S, car

a^-f- pr, -+-Y^ = o, et enfin qu'il est perpendiculaire à la vitesse ;/,, r,, <v,. car

La couche de passage est donc une nappe de tourbillons.

On passe maintenant de ce cas particulier au cas où la surface de séparation S aune forme courbe, par le mode de raisonnement suivant que nous empruntons à M. Poincaré {Théorie des tourbillons, p. i3i). Appelons ?/,, (',, ^v^ les projections de la vitesse du liquide intérieur en un point de la surface S et a, p, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à S en ce point. Nous pourrons décomposer la surface S en éléments assez petits pour

(jiuon puisse considérer ces éléments comme plans, et la vitesse ;/,, t'(, tV) comme constante dans toute leur étendue : nous pourrons en outre choisir l'épaisseur s de la couche de passage de façon qu'elle soit très petite, même vis-à-vis de ces éléments. Le résultat précédent s'appliquera alors à chacun des éléments plans et, par suite, à la surface S tout entière. La couche de passage sera remplacée par une nappe de tuhes de tourbillons dont les composantes ç', r/, "C' en chaque point de S seront données par les formules, identiques à (66),

En chaque point de S, ce tourbillon (ç', r/, t') est situé dans le plan tangent et normal à la \itesse (u^, v^, a,).

On pourra alors se servir de l'analogie électromagnétique exposée dans le paragraphe précédent, en remplaçant les tubes de tourbillons intérieurs à S par des courants et la surface S ellemême par une nappe de courants correspondant aux tubes qui proviennent des tourbillons fictifs (6-) situés dans la couche de passage.

Analjliquement, on pourra employer les formules du n° 767, donnant les fonctions P, Q, R :

i^fin

les intégrales étant étendues à tous les éléments d^ du liquide indéfini pour lesquels le tourbillon correspondant (i', v/, X^) n'est pas nul. Actuellement, ces intégrales se partagent en deux parties : la première, relative aux tubes de tourbillon situés dans le volume V intérieur à S ; la deuxième, relative aux tubes de tourbillon situés dans la couche de passage C :

-^ixc^-^^/a^"^'

La couche de passage C a une épaisseur e qu'on peut regarder comme infiniment petite : soit d^ un élément superficiel de la surface S; prenons comme élément de volume d'z de la couche le cylindre droit de base drr et de hauteur t limité aux surfaces S

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et S' qui comprennent la couche; on aura

dz — z di,

et la deuxième intégrale deviendra une intégrale doidilc étendue à tous les éléments dn de S

mais d'après les formules (67), la \aleur de asi', dans la couche, est yc, — fjWi. En remplaçant £ç' par cette valeur, on a enfin

la première intégrale étant étendue au volume V, la deuxième à la surface limite S. On a de même Q et R.

Les fonctions P, Q, R étant connues, les composantes de la vitesse se calculent par les formules (28) du n« 767. Seulement les formules ainsi ohtenues présentent cet inconvénient d'exiger la connaissance des vitesses (u,, Vf.wi) à la paroi, et ces vitesses ne font pas partie des données qui sont seulement les tourbillons.

776. Fluide compressible. — Nous avons montré que, pour un liquide dans un vase fixe simplement connexe et, en particulier, pour un hquide indéfini dans tous les sens, le problème n'a qu'une solution. Pour un fluide compressible placé dans les mêmes conditions, le problème n'a qu'une solution, à condition que l'on connaisse, en outre, la vitesse de dilatation,

()n dv àa> ~ dx ' dy dz

en chaque point. En effet, il ne peut y avoir, pour les vitesses, deux solutions dillerentes(«,,t',,(P,) ei {ui, v-^^w.). Car, comme on l'a vu au n" 766, la diflerence géométrique de ces vitesses

,/i ;^.,^ (>, — (^2> W| — vvo dériverait d'un potentiel cp ; ce potentiel,

puisque Q est donné et a la même valeur dans les deux solutions, vérifierait la condition

dux dv, dw, du^ di'o àw-, àx dy dz dx dy dz

do dx

I do , .

qui, en Iransposant et remplaçant «, — ii-x par t^ ' • ■ ' donnerait

enfin, sur la surface limite, on aurait

Dans ces conditions o serait constant et les difierences «i — «2? V\ — <'2' ^^1 — tï'2 nulles.

Si le vase était à connexion multiple, il faudrait se donner, en outre, les modules relatifs aux diverses sortes de contours fermés qu'on peut tracer dans le vase, comme au n" 766.

Fluide compressible indéfini. — Prenons, par exemple, le cas d'un fluide compressible indéfini dans tous les sens et supposons qu'on connaisse ç, y,. ^, 0 aux divers points de Tespace, les vitesses étant supposées continues.

Le problème est de trouver des fonctions w, ^', w, de x^ y^ z s'annulantà l'infini et vérifiant les équations

div

di' dz

dw ~~ d^

-^ ir,.

dv dx

du --dy

du dx

~ Jz

OÙ ç, Y,, ^, B sont donnés en fonction de :r, j', z. En généralisant les lormules du n" 767, on |)Ose

P, O, R, <I> étant quatre fonctions de x, y^ z. Comme, en supposant M, p, w connus, on aurait seulement les trois équations (70)

d* ^ dV,

dx ' dy

dQ dz

c)* ^ dP

d<i> dQ

IV = — -f- -r- dz dx