V. - NOTATIONS DE CLEBSCH

"78. Propriété analytique des surfaces de tourbillon. — Quand il n'existe pas de potentiel des vitesses, le flux élémentaire

udx -r- V dy -\- w dz

n'est pas une différentielle totale d'une fonction de trois variables. Cherchons si, à un instant quelconque f, il existe des surfaces sur lesquelles le flux élémentaire est une différentielle totale d'une fonction de deux variables; nous allons voir que ces suif aces sont précisément les surfaces de tourbillon à cet instant.

En effet, sur une surface S, on peut toujours exprimer x,y, z en fonc- III. 2g

45o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

tien de deux variables indépendantes À et iji. Dans ces conditions,

dx ,, dx ,

dx = — ^ aA ■ a\i.

L'expression udx -^ v dy ^- w dz prend alors la forme L <iX -^ M d\x et

, . ■ ,, ,.ff, . ,, d\a <)\l ,

en écrivant ou elle est une diiierentielle exacte — ^ = o, on a la

condition

d f dx dy dz\ d ( dx dy dz \

d\t.\ d\ d\ d\J dK\ à\i d^i 0\lJ

ou, en développant,

du dx du dx

Mais u, V, w sont fonctions de À et \x par l'intermédiaire de x, y. z:

on a donc

du du dx du dy du dz

d\j. dx d\x dy d[K ûz d\i. En substituant et réduisant, on trouve

^fày dz

' \dl dix

àz dy\ ~dïà^)'

l' dz dx ' '^' ^ (ÏÏ. d-x "

dx dz\ Y ( ^^ '^y " dT. 0^ ) ~^ "■ \àï '(hx

dy dx ~~d}.d^

Cette dernière condition exprime que la normale à la surface S en un point est perpendiculaire au tourbillon ^, tj, Ç en ce point, ou encore que le tourbillon est tangent à la surface. La surface S est donc bien une surface de tourbillon.

En partant de cette propriété, on démontrerait aisément que la circulation est nulle sur toute courbe fermée tracée sur une surface de tourbillon, de façon à pouvoir se réduire à un point par déformation continue sur la surface. (Théorème du n" 757. j

779. Notations de Clebsch. — Dans deux Mémoires parus au Journal de Crelle, en i8j6 et i838, Clebsch a employé une forme particulière des équations qui repose sur le théorème d'Analyse suivant :

Soient u, v, w trois fonctions quelconques de x, y, z, il existe toujours trois fonctions (f, m, <l des mêmes variables telles que l'on ait identiquement

(^ 74 ; u dx -^ i> dy -~ tv dz = do -i- m d'\f .

Soit 6 = const. une famille de surfaces de tourbillon ;

X = const., [i. = const.