CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 45l

deux autres familles de surfaces; tj;, X et fji seront des fonctions de x,y, z telles que, par chaque point de l'espace, il passe une surface de chaque famille. Alors, inversement, on pourra exprimer x^y, z en fonction de 4^) À et jjL, et l'on aura une identité de la forme

( 73 ) u dx -I- V dy -t- w o?z = L â?X -f- M d]x -h N o?4')

L, M, N étant trois fonctions de X, [x, 1];. Mais, d'après la propriété des surfaces de tourbillon établie dans le numéro précédent, le premier membre devient une différentielle exacte d'une fonction de X et fji sur une surface de tourbillon quelconque et, en particulier, sur la surface

i]; = const., d^ = o.

Donc, (]> étant constant,

L rfX + M du.

est une différentielle exacte d'une fonction tp de X et [ji; cette fonction cp contient d'ailleurs la constante t}^, de sorte que cp dépend de X, |jl, <h et l'on a

L d\ -1- M rfu — -r| fl?X -H -r^ du..

ok d]x

Appelons dv^ la différentielle totale de cp obtenue en faisant varier

X, [X et '1^ ; on a

Donc

L f/X -t- M du. = o?co — -I d'^.

L'identité (75) devient alors

a dx ^ V dy -T- w dz — d(a -{- I N — -j 1 ^4' i

et, en désignant par m le facteur N^ — jj-> on a l'identité qu'il s'agit de

démontrer.

Il résulte de cette démonstration que la transformation de Clebsch est possible d'une infinité de manières et qu'il suffit de prendre pour (j; une fonction telle que 4* = const. représente une famille de surfaces de tourbillon, à l'instant t. Inversement, si cette transformation est réalisée, il/ = const. est une famille de surfaces de tourbillon, car, pour t^ = const., le flux élémentaire devient une différentielle totale d'une fonction de deux variables.

Dans l'identité (74) de Glebsch, les surfaces

ni = const.

sont aussi des surfaces de tourbillon, car, si m = G. le flux élémentaire

u dx -T- V dy -^ w dz = d( o — C')^)

est une différentielle exacte d'une fonction de deux variables.

En chaque point du fluide, le tourbillon est donc tangent à l'intersection

des deux surfaces

m = const.. <\i = const.

passant par ce point. C'est ce qu'on pourrait vérifier directement en remarquant que l'on a

^ dm d<\i dm d'\) dy dz dz dy'

comme il résulte des expressions de u, v, w

, . d'^ d^ do àij do d<l

(76) M=-i--f-/?i-i, V = —i- -\- m~ > IV = —^ -^ m -^ 1

dx dx dy dy dz dz

tirées de l'identité (74)-

Cette transformation d*e Clebsch ainsi que celles de Stokes (n° 776) ont été étudiées en détail par E. Betti (Theoria délie Forze newtoniane, p, 3o4-3i3 I.

EXERCICES

1. Accélération rotatoire. — Appelons J l'accélération de rélément x, y, z à l'instant /, J^, J., J. ses projections sur les axes. Le vecteur il' ayant pour projections

"^^"2V^ dzj' -^^'^ Adz '~ d^r

s'appelle Y accélération rotatoire.

Soit une portion S de surface fluide limitée par une courbe C pouvant être réduite à un point par déformation continue sur S; démontrer les théorèmes suivants :

La dérivée par rapport au temps de la circulation le long de C est égale au travail fictif de l'accélération le long de C :

/ udx -- V dy ~ w dz = 1 5^dx -h J^dy + J,dz. nsformation d'Ampère et de St

d Ou encore, d'après la transformation d'Ampère et de Stokes ( n" 539),