rV

m =z —- , s = ni V = — j— ;

la relation (24) s'écril donc

2riA

La période T de l'ondulation est ensuite donnée par la formule (12) :

Si la profondeur h du canal est très grande par rapport à la longueur / de l'onde, le rapport des exponentielles est voisin de i et l'on a

Si, au contraire, l'onde est très longue par rapport à la profondeur, j est petit et l'on peut remplacer approximativement le

271/1 2Tlh

numérateur e ' — e ' par le premier terme de son développement en série ^^-^ et le dénominateur par 2 ; on a alors

Remarque sur l'équation de la surface libre. — On pourrait obtenir également l'équation approchée de la surface libre par la méthode suivante. Soit

l'équation de cette surface. Comme elle est nne surface limite, on doit avoir sur cette surface (n° 727)

mais fl étant le coefficient angulaire delà tangente à la courbe (26) est très petit, car la surface libre diffère peu d'un plan horizontal; on a donc, en négligeant le produit uf'^^. et remarquant

dt

D'après la valeur (22) du potentiel des vitesses, on a ainsi

-^ = Am(e'«<r+^' — e-"^'y-^'''>) %in{mx — st -f- a)

sur la surface libre, c'est-à-dire pour y très petit. D'où approximativement, en faisant j^ = o,

-^ = Xrn(e"'f' — e-'«/') sin(/n,r — st -+- t.), dt

et en intégrant on a, pour équation de cette surface,

(28) y= {e'"'' — e-"^'^) cos{mx — 5^ -h a).

Si l'on compare cette équation à celle que nous avons trouvée par une méthode directe (éq. 23), on voit que ces deux équations sont identiques en vertu de la relation (24) qui lie s, m et h.

Oscillations des molécules. — Soient a et b les coordonnées d'une molécule dans l'état d'équilibre, x el y ses coordonnées à l'instant t et JCi, jt les projections de son déplacement; on a :

dxY '^ ^7i ^ .

dt ~~ ~ ôx' dt dy

D'après la valeur (22) de -o, on a donc

— = Aw[e'«(J'+^)4- e-'^'^y + ''^]co?.{mx — st-^'x), ^Z} = Xf)i[^gm{y + /i)^ g-miy+hj gin { mx — st -ha);

comme ^'i et jKi sont très petits, x ei y diffèrent très peu de a et b. Nous pourrons donc, dans les deuxièmes membres, remplacer X et j par a el b ; l'intégration devient alors immédiate et donne, à des constantes additives près,

' ^ == 2L^re''i(6 + A)^e-'«(è + /')] sia(m« — st + ol), 1 s

jj = - — [■gm(6 + /!>g-'«(i + Aij cos (ma — St -(-a). Dans ces équations, la seule variable du deuxième membre

est / : la molécule décrit donc une petite ellipse dans le temps T ^ — • Pour le fond b :=^ — li^ cette ellipse est infiniment aplatie,

carj)', = o.

Si la profondeur est infinie, A = oo, ces ellipses se réduisent à des cercles (Basset, Elementarj Treatise, p. 90).

Fonction de courant. — La fonction de courant -j/ se déduit du potentiel 'j par les formules du n" 783 :

d'h ()cp (^'1 __ ^tp

dx dy ôy dx

On a donc, dans le mouvement actuel, d'après l'expression (22)

de-^:

'^ = \[e"' y + '• — e-'" ^y + '' ] cosimx — st -+- a).

788. Cas général. Exemple du clapotis. — Puisque dans le problème approché toutes les conditions sont linéaires, si l'on a n solutions '^\ , .5o, . . . ci/, vérifiant les conditions indéfinies et aux limites, on en obtient une nouvelle en les ajoutant et en prenant

o = tp, -7- O2 -^ ...-+- Ç)„.

Les coefficients A. ni et a étant arbitraires dans la fonction 'j donnée par la formule (22), on aura une infinité de solutions en donnant à ces constantes telles valeurs que l'on voudra et, en les ajoutant, on aura une solution dépendant d'une infinité de constantes. On pourra ensuite disposer de ces constantes de façon à satisfaire à des conditions initiales données. Il faut remarquer qu'à chaque valeur de m correspondent deux solutions, car, m étant donné, la formule (24) détermine pour s deux valeurs égales et de signes contraires.

La place nous manque pour indiquer des applications de cette méthode dont on trouvera le développement dans le Mémoire de Cauchy pour le cas d'une profondeur indéfinie. Nous nous bornerons à un exemple.

Clapotis. — L'application la plus simple de cette méthode générale consiste à composer deux ondes progressives simples de même période, de même amplitude, avec des vitesses de propagation égales et fqiposées. On obtient alors une onde station-

naire (n° 785) appelée clapotis. La période T de l'ondulation esl la même que celle des deux ondes progressives composantes. Par exemple, pour une profondeur indéfinie

On trouvera dans une thèse soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris en 1897 ' Formation et extinction du clapotis, par M. Nau (Gauthier-Villars), un résumé des travaux publiés sur cette question, avec des reproductions de photographies de M. Marej.

789. Onde solitaire. Indications.— L'expérience montre qu'une onde solitaire, c'est-à-dire une intumescence unique, peut se propager à la surface d'un liquide. On peut obtenir une onde de ce genre en versant brusquement du dehors, à l'entrée d'un canal, un certain volume d'eau; il se propage alors dans le canal un gonllement tout en relief ayant ses deux moitiés d'avant et d'arrière symétriques^ et se propageant comme tout d'une pièce le long du canal avec la vitesse d'un corps tombé dans le vide d'une hauteur moitié de la profondeur totale de l'eau au-dessous du sommet de l'onde. A la même classe de mouvement appartiennent également les ondes solitaires négatives constituées par un creux et non par un gonflement (i).

Des expériences sur ce sujet ont été faites par Scott Russell(2), puis pai' MM. Darcy et Bazin (3).

Un premier essai de théorie a été tenté par Earnshaw C») en i845, mais n'a pas donné de résultats satisfaisants. La véritable théorie du phénomène a été découverte par M. Boussinesq {^) en iSji ; une théorie analogue a ensuite été donnée par lord Rayleigh (^) en iHjf).

790. Jets liquides parallèles à un plan. Indications. — Supposons un vase cylindrique ayant ses génératrices perpendiculaires au plan des xy et ayant pour base sur ce plan une courbe indéfinie comme une parabole : enlevons la porlion de paroi du vase comprise entre deux génératrices de traces A et B et supposons que par la fente ainsi constituée il s'échappe

(') Boussinesq, Notice sur les travaux scientifiques. Lille, Imprimerie Danel, i885.

{^) British Assoc. Rep. on Waves, i8'|4.

(■■) Rapport de Clapeyron à l'Académie des .Sciences (10 août i863). (*) Transactions Cambridge Philosopldcal Society, vol. VIII, p. 826. ['■>) Comptes rendus, t. LXII.

(*) Philosophical Magazine, avr'û 1876.

un jet liquide parallèle au plan des xy, le mouvement dans le vase étant parallèle au même plan. Nous aurons ainsi le problème du mouvement d'un jet liquide parallèle à un plan. Ce problème n'a été résolu que dans un petit nombre de cas.

Helmholtz, le premier, a déterminé, dans un cas particulier, la forme d'un jet fluide libre, en supposant que le fluide est incompressible, qu'aucune force extérieure n'agit sur ses éléments, que le mouvement est permanent, irrotationnel et a lieu parallèlement à un plan fixe {Monatsberichte der Berliner Académie, avril 1868). La méthode de Helmholtz a ensuite été généralisée par Kirchhoff, qui a résolu le même problème dans un certain nombre de cas ( Vorlesungen iiber matheniatische Physik, leçons XXI et XXII).

Ces méthodes reposent sur l'emploi de la représentation conforme.

Dans une thèse présentée en iSg'î à la Faculté des Sciences de Paris, M. Sautreaux a exposé les recherches de Helmholtz et Kirchhofi^ et a, en outre, traité le cas nouveau où des forces extérieures agissent sur le fluide ; il est revenu sur ce problème dans un Mémoire publié en 1896 dans le Journal de Mathématiques de M. Jordan.