TC
par contre, la valeur d'un maximum ou d'un minimum déterminé
rt 2 a cos I -^ t +
varie avec ^ et oscille entre — 2 a et +2 a. La crête d'une vague ne fait donc que monter et descendre sur la même verticale d'un mouvement oscillatoire : quand son ordonnée est nulle, la surface libre redevient momentanément plane : après cet instant, la vague fait place à un creux qui va en s'accusant jusqu'au moment où le fond du creux a atteint l'ordonnée — 2 a; |)uis le fond du creux remonte, etc. Des ondes de cette nature s'appellent ondes stalionnaires. Elles donnent naissance au phénomène du clapotis (î;o//-n''788).
786. Dynamique du mouvement irrotationnel par ondes parallèles à la surface d'un liquide pesant. — Soit un liquide pesant en équilibre dans un canal indéfini, de profondeur constante, limité latéralement par deux parois planes verticales et parallèles entre elles. Prenons le plan xOy parallèle aux parois, l'axe Ox étant horizontal et situé sur la surface libre, l'axe Oy étant vertical ascendant. Ecartons le liquide très peu de sa position d'équilibre de telle façon que chaque élément se déplace parallèlement au plan des xy et que tous les éléments situés sur une même perpendicu-
laire à ce plan subissent le même déplacement initial; imprimons, en outre, à chaque élément une vitesse initiale très petite parallèle au plan des xy^ de telle façon que tous les éléments situés sur une même perpendiculaire à ce plan aient une même vitesse. Le liquide prendra alors un mouvement ondulatoire parallèle au plan des xy.
Nous supposons ici que ce mouvement est irrotationnel : pour cela, il faut et il suffit, d'après le théorème de Lagrange (n° 730) que les vitesses initiales (wo? ^\t <t"o) dérivent d'un potentiel 'Jo5 dans les hypothèses actuelles Wq est nul, et le potentiel cp^ dépend uniquement des coordonnées initiales a: et y et non de z. On pourrait, par exemple, réaliser ces conditions en immergeant légèrement dans le liquide des cvlindres solides perpendiculaires au plan des xy^ laissant le liquide revenir au repos, puis retirant brusquement, au même instant, tous les cylindres; dans cette hypothèse, les vitesses initiales seraient nulles, et la fonction cso serait nulle.
A un instant quelconque ^, les vitesses ?/, r d'un élément fluide de coordonnées x^ y- dériveront d'un potentiel '■:>{^x^y^ t). Ce potentiel devra remplir les conditions suivantes :
1° Condition indéfi /lie. — Le potentiel z> doit vérifier, à chaque instant ?, dans toute la masse liquide, l'équation de Laplace
2° Conditions aux limites. — Le liquide est borné par les parois latérales du canal, par le fond, situé à la profondeur y =^ — h, et par la surface libre. Tout d'abord, le long des parois latérales, les vitesses doivent être tangentes à ces parois, ce qui a lieu puisque le mouvement se fait parallèlement au plan xOy. Puis, sur le fond, la vitesse doit être tangente au fond; la composante V doit donc être nulle, et l'on doit avoir
(i5) di""^' P^""" y^- — i>-
Enfin la surface libre doit être, à chaque instant, une surface d'égale pression, car sur cette surface s'exerce la pression atmosphérique/>„. On a (n° 783), pour déterminer la pression/?,, la
oy'
formule (5) où la fonclion des forces U est — gy :
Désignons, pour simplifier, par/9 l'excès de la pression réelle yOj en un point sur la pression atmosphérique pa '•
P =Pl — Pa]
on aura, en remplaçant la fonction cp parla nouvelle fonction
qui peut également servir de fonction des vitesses,
La surface libre a alors pour équation (i8) p =zpi — p„= o.
Comme cette surface est une surface limite mobile, les vitesses doivent y vérifier la condition du n" 727, où l'on remplace n, r,
d(p ôo (V par -r-> —-■> o :
^ Ox oy
dp ôo dp à'si dp ^^' dx dx dy dy àt
3" Conditions initiales. — A l'instant ^= o, la surface libre a une forme arbitrairement donnée, et le potentiel cp des vitesses se réduit à une fonction donnée cpo(x, y).
Tel est l'énoncé général du problème. On ne peut le résoudre qu'approximativement, en supposant les vitesses assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leurs produits.
C'est cette solution approchée que nous allons exposer. Nous nous contenterons d'abord de trouver une fonction simple cp(^, j, f) vérifiant les conditions indéfinies et les conditions aux limites : une telle fonction donnera une solution du problème, si l'on imagine que les conditions initiales sont précisément celles que l'on obtient en faisant dans cette fonction t = o. La solution générale sera composée de la somme d'une infinité de solutions simples.
787. Équations approchées. — Supposons les vitesses assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leurs produits,
c'est-à-dire les carrés et les produits de —^ et -2. et des dérivées de
^ ().r oy
ces quantités par rapport à t. L'expression (i^y) de l'excès de la pression sur la pression atmosphérique devient
et la condition (ic)) à la surface libre devient, en remplaçant /? par cette valeur,
ôf dx dx \dt dy J Oy ■ '>/-
ou, en négligeant le premier et le deuxième terme,
^ ' " Oy dt^
Solution simple donnant une onde progressive simple. — En cherchant à satisfaire à l'équation de Laplace (i4) par le produit d'une fonction de y par une fonction de x, on voit qu'on peut satisfaire à la condition indéfinie et aux conditions aux limites |)ar une fonction '.s de la forme
(22) tp {t, y. t) = A (e"'(.v+/')-H e-"'0 + /''') sin(m.r — st -f- a),
A, a, /)i , s étant des constantes parmi lesquelles les trois premières sont arbitraires. On devra supposer la constante A très petite, de l'ordre de u et r, puisque u et v sont égaux repective-
ment a — ^ et --i-'
Ox Oy
Tout d'abord léquation de Laplace (i4) est satisfaite, quelles que soieni les constantes; ensuite la condition au fond (i5), que
-~ s'annule pour j' = — A, est également satisfaite.
Restent les conditions à la surface libre : l'équation de cette surface /) = o est, d'après (20),
c'est-à-clire
y = — (e'"0'+/')-t- e-'n'-y+M) cos{mx — st -\- a).
L'ordonnée y d'un point de cette surface est très petite : elle est, d'après l'équation ci-dessus, de l'ordre de grandeur de A; dès lors, en développant e'"-'^"el e~"^y en séries et négligeant les termes en Ay, \y-, . . ., on voit qu'on peut remplacer ces exponentielles par I et écrire pour l'équation de la surface libre
Xs
(23) y = — (e'"'' -h e--"''<) cos(mx — si -^ oi).
Le mouvement est donc bien un mouvement ondulatoire simple : les constantes m et s sont liées par une relation que nous allons obtenir en exprimant la dernière condition (21) relative à
la surface libre
do d-<ù
D'après la valeur (22) de C5, cette condition devient, après suppression du facteur sin(/;Kr — st -\- a),
sur la surface libre. Comme, sur cette surface, y est très petit, nous pourrons remplacer approximativement y par o et nous aurons, pour déterminer s en fonction de m., l'équation
Q m II ç — ttili
( 24 ) 5- = gm ; 7 •
^ ' " gmh^i^ g — mil
Avec cette valeur de la constante^^, la fonction o donnée par (22) remplit toutes les conditions aux limites. Elle donne donc une solution du problème, avec des conditions initiales obtenues en faisant dans les équations précédentes t^=o.
La relation (24) donne la vitesse de propagation de l'onde progressive simple V en fonction de la longueur d'onde / : en effet, d'après les équations (10) et (i 1), on a
