I II

(il) U — H> = :

-iTi i cr — a -\- i(y — b) 27: i z — a

Plusieurs tubes infiniment déliés. — Soient, à un instant i, plusieurs tubes rectilignes indéfinis perpendiculaires au plan des xy; d<s^, «r/o-o, .... d^^ les traces de ces tubes sur ce plan en des points A, , Ao. . . . , A„ de coordonnées «, , 6, , a-y-, ^2, . . • , «r„, bn, et I,, L, •••, I« les valeurs algébriques des intensités des tubes, d'après la convention faite plus haut (n" 791). Un élément fluide, placé en un point P(:r,j') du plan des xy en dehors des tubes, possède une vitesse W, qui est la somme géométrique des vitesses W», Wo, . . . , W,2 que posséderait ce point si chacun des tubes existait seul.

Ces vitesses composantes sont déterminées par les formules que nous venons d'établir. Joignons le point P aux points Aj, A2, .... A„, où les tubes rencontrent le plan des xy^ et soient /'(, /•o, . . . , r,i les longueurs des droites A, P, A2P, . . • , A„ P, et 8| , Qo, . . . , ^,1 les angles qu'elles font avec Ox. La vitesse Wa dérive du potentiel

la fonction de courant correspondante est

;tr

et 1 on a

en posant

<FA+t^A-= -^.Log(^ — a^.),

z = X -\- iy, a/,. =i ak^ ib^;

enfin , les composantes Uh el Vk de celle vilesse Wa suivant ces axes sont données par l'équation

Uk— l^'k — .

D'après cela, la vitesse W du point P, somme géométrique des

vitesses W,, W^, . . ., W„, dérive du potentiel

la fonction de courant ^|i est

k = i où

/•/.■ = /(^■ — «A-}-+ iy — bk)'^-

Les projections ;/, r de la vitesse W communiquée au point Y*(a:,y) par l'ensemble des tubes I), 1^, •••, !« sont alors données par l'un on l'autre 'des systèmes équivalents

d'zt ()ai

oy ox

On peut écrire aussi

k = n U — fP = > Uh tr/,=: : 7 j

et remarquer enfin que l'on a

(B-1- i'.J; = : V U-LogC-S — ayt).

Ces formules donnent la distribution des vitesses dans la partie irrotationnelle à un instant /; on en déduit immédiatement les lignes de courant <\i = consl.

Mais, quand t varie, les tubes de tourbillons se déplacent en conservant des intensités constantes, de sorte que les coordonnées

«,, 6), a., 60, . . ., an, ba de leurs traces sont des fonctions du temps. Ce sont ces fonctions qu'il faudrait connaître pour avoir le mouvement des tubes. Nous allons donner les équations qui les déterminent.

AJoin'ement des tubes de tourbillon infiniment déliés. — Vvenons la trace Ai du tuhe d'intensité I, sur le plan des xy et soient, comme plus haut, «, et 6, les coordonnées de celte trace, variables avec /. Comme un tube de tourbillon est toujours composé des mêmes éléments matériels, la vitesse V, de l'élément liquide placé en A, se confond avec la vitesse de la trace du tube et a pour projections ^ et ^- Cela posé, cette vitesse V, est la résultante des vitesses imprimées à l'élément A, d'une part par le tube I, lui-même, et d'autre part par les autres tubes L, I3. ..., I«. Mais nous avons vu (p. 476) que, si un tube infiniment délié, I, par exemple, existait seul, il resterait immobile : la vitesse communiquée à l'élément A, par le tube I, est donc nulle, et la vitesse cherchée V, de cet élément est la résultante des vitesses qui lui sont communiquées par les autres tubes lo; Is, • • • 1 !«• D'après ce que nous venons de voir (formules i5), les composantes u^ v de la vitesse que communiquent à un point quelconque V{x,y) les tubes lo, I3 . . ., I« sont données par les relations

<!; désignant la somme

4/ = ^ V lA-loga-

relative à ces tubes, c'est-à-dire, en détaillant, puisque le tube i est laissé de côté,

(1;) 6 = î-( I,Logr.>-l- IgLog/'s-l- . . . + IrtLog/-„)»

,. 1 dai ^ dbi -, I

Pour avoir en particulier les composantes -^ et -^ de la vitesse Yi, que communiquent ces tubes au point A, {a^, 6,), il suf-

48o ÉQUILIBRE ET .MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

fira de faire, dans les formules (i6) et (17),

par cette substitution, la fonction 'l définie par (17) devient (18) <!/i = ^(l2Log/-i,4-l3Log/-i3-h .. . + ULogru),

'•lA = /( «1 — «A /- -i- ( '^i — IJkfi et les formules (16) donnent

^'^^ dt ~ dbi ' rff " dai '

On obtiendra, par un calcul analogue, en permutant les indices, les expressions des dérivées de «oj bo, ••• ««, ^« par rapport au lemps^

c^ota (^'t'2 db<i di])o

^"^^ 'dt ^ dÈl' 'dt^~d^^'

1^2 = ^(Ii Logr.i-H IsLogT'os -!-... H- I„ Log /'ire),

On obtient ainsi un système de 2/1 équations différentielles du premier ordre définissante/,, 6,, «oi ^21 • • •, ««, ^« en fonction du temps : ce sont les équations du mouvement des tubes considérés.

Réduction des équations du mouvement des tubes à la forme canonique. — On peut faire en sorte que dans les seconds membres des équations du mouvement (19), (ip)', ••• figurent les dérivées partielles d^une même Jonction. Pour cela, désignons par Fhk la distance des points A/j A^

r/ik = v/(«/j— «Aj--t- {b/t— bkf et posons

( 'iO ) ^^~~ ^^à ^'' ^'' ^^^^ ''''■'

hk

la somme étant étendue à toutes les combinaisons des points A/jAa deux à deux, de telle façon que, dans cette somme, figure une fois, et une seule fois, la distance de deux des points. En

CHAP. XXXVI. — MOUVEMENTS PARALLÈLES A UN PLAN FIXE. 48l

mettant en évidence tous les termes qui contiennent a s et Z>(, on peut écrire

H = î-(l2Log/-io-t- I3 Log /-is -H. ..+ I„Log/'i„) + K,