TT

les termes compris dans K ne contenant plus ni «, ni ^, : on peut écrire aussi, d'après la valeur (18) de ^(,

Donc

On aura de même

da.^ ~ '^ da-, ' dh-i ^'' db-i

àui

' àai

dbi ~

dbi

-. o^ai

~ dbi'

dui

dll

^" dt

dll

~ dba '

, dbn

^" dt "

Les équations du mouvement (19), (19)', • • • peuvent alors être écrites

où H désigne la fonction (20).

Ces équations sont d'une forme très voisine de la forme canonique (Chap, XXV) : pour les ramener exactement à la forme canonique, il suffirait de prendre comme variables les quantités

Ci=l\bi, 0-1= lib^, ••., Cn=lnbn,

et d'écrire

dai àll dci dH

dt dci dt doi

mais nous laisserons aux équations la forme (21).

Nous allons obtenir quelques propriétés simples du mouvement en nous basant sur certaines propriétés de la fonction H.

Propriétés de la fonction H. — La fonction H dépendant seu-

lement des distances mutuelles l'hk des points A,, . . ., A;^, ne change pas de valeur quand on déplace 1 ensemble de ces points comme une figure invariable.

1° Tout d'abord, imaginons cju'on déplace l'ensemble de ces points d'une quantité infiniment jH'lite parallèlement à O^ : les quantités ^, , />2? • • • ? ^« restent constantes et les quantités «i, <72, ...,€1,1 augmentent toutes d'une même quantité infiniment petite Ort. La fonction H devant garder la même valeur, sa différentielle totale correspondante est nulle.

- — oa\ -T- - — ©«2 -^ • . • H of/,, = o,

ua\ oa^ oa,i

ou encore comme

orti = oa-2 — ...=: ca,i = oc^ , , c^H dH dH

(il) h-: r...-h— -=0.

dai oa.2 ociii

Cette identité est d'ailleurs très facile à vérifier directement. De même, en écrivant qu'un transport d'ensemble parallèlement à Oy n'altère pas H, on a l'identité

2" La fonction H reste inaltérée quand on fait tourner le système des points A/t d'un angle infiniment petit o8 autour de l'origine; or on a, dans ce cas, pour les déplacements infiniment petits des points A/,,

oa/, — — b/,0%, obi = ((/i ^^) ,

comme on l'a vu plusieurs fois à propos du théorème du travail virtuel. La variation correspondante de H

.„ dH . on ., d\\ .,

OH =: Oai r- <jU< -r- . . . -î ;— 00,,

âcii ' ûbi ' dba

étant nulle, on a l'identité

, dll dH , dïl dH

(■>J\) —bi- H «1 -T ... —b,i ;- a„ — - = G,

dai dbi da,i db,i

facile à vérifier directement.

3° Enfin, nous obtiendrons une dernière identité pour la fonc-

CHAP. XXXVI. — MOUVEMENTS l'ARAM.ÈLES A UN PLAN FIXE. 4^^^

LJon H par le ihéorème des fonctions homogènes. Celle fonction est une fonction linéaire et homogène des quantités Log l'hk- Si l'on remplace «a, bh et aj^, b/t par).a^, \bhif^ciki '^^bk, l'hh devient l.Vhk-, et Log/'AA devient Log)>77,A = Log/'^A + Log À. La formule

H = — ;^ 2 I/, I/i- Log ruu

donne donc identiquement

H (Xai, Xrto) . . . , À ««, /'-^i, X6o, . . . ,}.b„)

= H((r/i, a,, On, bu ^2, • • -, ^«) ^^-^^— 7^ I/J/.--

Prenons les dérivées partielles des deux membres par rapport à X, puis dans le résultat faisons ). = i ; nous aurons

(2D) rti h . . . -f- a„ h 61 -j- — ... + Un -j- = > \n 1/.,

ôai ociii Obi 'Jb,i -i-n Jm^

identité que l'on pourra vérifier directement. Revenons maintenant au mouvement des tubes.

TuÉORiiME L — Immobilité du centre de gravité du système de tubes.

Considérons le centre G de masses fictives I, , I2, . . . , I« placées respectivement aux points A,, A2, . . . , A„ qui forment les traces des lubes de tourbillon sur le plan de'sxj. Les coordonnées jTojJ^o de ce point sont données par

(G) x^^lk = ^ak\k, y,^\k = ^bklk,

les sommes étant étendues aux valeurs 1,2, . . . , /i de k. Comme les quantités I^ peuvent être positives ou négatives, le point G pourrait exceptionnellement ne pas exister si ST^ était nul; nous écartons ce cas. On a alors le théorème suivant :

Le point G reste immobile. En effet, d'après les équations( 21) du mouvemenl, on a, pour les projections de la vitesse du point G,

dt Zd '' Zd '' dt Zddak

Mais, d'après les identités (22) et (23), les sommes \ -- — et

\^ -y- sont nulles; donc x^ et j)^^ sont constants, ce qu'il fallait

démontrer.

Dans le cas exceptionnel où -1^ = o, le point G n'existe plus, mais on aura toujours les deux équations

qui donnent les deux intégrales premières

S I/^a/t = const., S I/, 6/,- = const.

Théorème II. — La somme des moments cV inertie des masses fictives I(, lo, . • • 5 l/e, placées aux points A,, A2, . . . , A„, par rapport à un axe fixe Oz parallèle aux tubes, est constante.

En effet, d'après les équations du mouvement (21), on a

Faisant la somme de toutes ces équations pour tous les tubes, on a

Mais la somme du second membre est nulle, d'après l'identité (24) établie plus haut. On a donc l'intégrale première

S 1/, ( a| -1- 6|) = cons t., qui exprime le tliéorème énoncé.

Théorf:me III. — Dans le mouvement des tubes la fonction H reste constante.

Eu effet, la fonction H dépend du temps par l'intermédiaire des lettres a\^a.,. ..., a,i,bi, b>, •••, b,/, qui sont fonctions de t. On a donc

du dU^ doj^ dH dbi OH da^ ()H db,,

dt âui dt ~^ ûbi dt ••■'^ ^^^^^ ^^ ^^^^^ ^^

Mais, en portant dans le second membre les valeurs de -'j

clb\ .,,,., .

—j-1 ••• tirées des équations du mouvement (21), on trouve immédiatement zéro dans le second membre. Donc la dérivée totale de H par rapport à t est nulle, et H est constant,

H =: const..

Théorème I\ . — La somme des moments des quantités de mouvement des masses Ii, lo, . . ., 1,< par rapport à un axe fixe Oz parallèle aux tubes est constante.

En effet, d'après les équations du mouvement (21), on a

dbf, , da/A XT" / c)ll , r)II \

àbjj'

\^ / db/,. da/A ^ / OH

et d'après l'identité (aS), déduite du théorème des fonctions homogènes, cette dernière quantité est égale à la constante numérique

Le théorème est donc démontré. Il diffère des précédents en ce qu'il exprime simplement une propriété des équations du mouvement, sans en fournir une intégrale première.

Résumé. — En résumé, nous avons trouvé quatre intégrales premières des équations du mouvement des tubes : deux par le théorème I, une autre par chacun des théorèmes II et III. On peut vérifier que l'on obtiendrait la dernière (th. III) en appliquant le théorème des forces vives à une tranche du liquide comprise entre deux plans fixes parallèles au plan xOy (voir Poijvcaré, Théorie des tourbillons, p. 78).

Cas particulier de deux tubes infiniment déliés. — Dans le cas de deux tubes seulement, I, et lo, on peut trouver complètement le mouvement des deux tubes. Nous laisserons au lecteur le soin de traiter directement le problème, et nous le résoudrons en appliquant les théorèmes généraux que nous venons de trouver.

La fonction H est ici

II=-^Iil2Logri,.

Nous avons vu que H resle constant pendant le mouvement : donc la distance /'lo des deux tubes est constante.

Supposons I, + l2<"; alors le centre de gravité G existe. C'est un point situé sur la droite A, A.2 de telle façon que l'on ait en orandeur et en signe