III
490 ÉQUILIBRE ET MOUVEiMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Égalant celte expression à la circulation, on a (29) \y = lr (r<R).
Le cercle liquide servant de base au tube de tourbillon tourne donc autour de son centre avec une vitesse angulaire ^.
Ces deux formules (28 et 39) donnent la même valeur pour r = R; ce que nous pouvions prévoir, car la vitesse varie d'une manière continue dans le liquide.
Fonction de courant. — En appelant 'i> la fonction de courant, nous avons posé (n° 781),
d'b = u dy — (' dx.
Si l'on prend comme origine le point G en désignant par 8 l'angle polaire ^GP, on a
l a:- = /-cosO, jK = ''sin6,
\ K= — WsinO, p = WcosO,
d'où
. fM = — W dr.
Si le point P est extérieur au tube, on a (formule 28) f/.i/ =r — <//•, ']; = — t:R2Loir/■; si le point est intérieur au tube (formule 29) di^=—X,rdr, ^= — 1!:/-2.
Il serait alors aisé de vérifier que, comme nous l'avons indiqué pour le cas gênerai (n° /Ul), la quantité -Y~k '^ yï ^^'' "^^^'^^ G"
dehors du tube et égale à — 2^ dans le tube.
A V extérieur du tube, il existe une fonction des vitesses
donnée par
c^o = u dx 4- t> dy = W r di) ,
comme il résulte des formules (3o); on a donc, d'après l'expression (28) de W,
On peut vérifier que, à l'extérieur, cp + /-]/ est une fonction
de .2; + iy, en effet,
ç. -f- i<]j = — iZ. R- Log(.r -1- iy).
A l'intérieur du tube, il n'existe pas de potentiel des vitesses, car le mouvement y est rotationnel.
794. Cas d'un liquide limité par des cloisons perpendiculaires au plan des xy. — Si le liquide n'est pas indéfini parallrlement au plan des xy., on peut employer des considérations analogues à celles du n" 775 pour un liquide dans un vase quelconque.
On peut aussi se servir de la méthode des images dans certains cas simples.
Supposons, par exemple, un liquide limité par une cloison plane indéfinie perpendiculaire au plan xOy et ayant pour trace la droite CD {fig- 343), le liquide recouvrant toute la partie du plan des xy au-dessus de CD. Imaginons, dans ce liquide, un seul tube de tourbillon infiniment délié ayant pour intensité I et pour trace A| ; cherchons le mouvement de ce tube et la distribution des vitesses.
Il est aisé de voir que la distribution des vitesses est la même que si la cloison n'existait pas, si le fluide recouvrait tout le plan des xy et si un deuxième tube de tourbillon A-a, symétrique du premier par rapport à CD, existait dans le liquide indéfini ainsi obtenu. En effet, d'après ce que nous avons vu (p. 486) pour le cas oii deux tubes égaux et de sens contraires se meuvent dans un liquide indéfini, les deux tubes tourbillons décriraient des droites parallèles à CD {fig. 343), et chaque particule placée sur CD aurait sa vitesse W dirigée suivant CD. Dès lors, d'après le principe des images, on peut remplacer CD par une cloison solide sans rien changer au mouvement du fluide placé d'un côté de CD. La proposition est donc démontrée.
793. Exemple de mouvement ondulatoire rotationnel d'un liquide pesant : ondes trochoïdales de Gerstner (houle). — Nous avons traité, dans le § I de ce Chapitre, le mouvement ondulatoire irrotalionnel d'un liquide pesant en employant une méthode d'approximation. Dans le cas du mouvement ondulatoire rotationnel d'un liquide pesant de profondeur indéfinie, il est remarquable qu'il existe une solution, découverte par Gerstner en 1802, qui vérifie rigoureusement les équations du mouve-
4gi EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
ment ('). L'exposé de cette question va nous fournir une application intéressante du système des variables de Lagrange.
Soit un liquide pesant, de profondeur indéfinie, animé d'un mouvement parallèle au plan vertical ccOy, l'axe Qx étant horizontal et l'axe Oy vertical descendant. Appelons x, y, z les coordonnées d'une particule liquide à l'instant t\ a, 6, c ses coordonnées initiales : comme le mouvement est parallèle au plan xOy^ x ^X, y dépendent uniquement de a, 6, t, et z est constamment égal à c.
Les équations du mouvement (n" 726) se réduisent alors aux deux suivantes :
\ dp d''-T \ dp __ d''- V
auxquelles il faut joindre V équation de continuité D = i (n° 694), D désignant le déterminant fonctionnel de x, y, z par rapport à a, b, c. Mais actuellement on a
dz àz dz
et l'équation de continuité se réduit à
dx ôv f)x ôv ' dcc Oh ob Oa
on pourrait écrire immédiatement cette équation en remarquant que, le liquide étant incompressible, l'aire occupée par une partie du liquide dans le plan xOy reste invariable dans le mouvement.
On peut vérifier les équations (3i) et (Sa) en prenant pour a; et y les expressions suivantes :
i X = y. -~- Y e-''? sin/i(a -— st), (33)
\ y = '^-^ j e-/'? cos k{'J.-\-st),
où k et s sont des constantes absolues, a et ^ des constantes dépendant des coordonnées initiales a et b et non du temps : les constantes a et [3 sont supposées définies en fonction des coordonnées initiales de façon que, pour f = o, X 0.1 y prennent les valeurs a el b :
a = (X -h j e~^'? sinAa, / 6 = ^ -»- Y e-''PcosA-a.
C; Voyez Basset, Treatise on Ifyclroclynamics, t. II, p. i^S.
Pour simplifier les calculs, il est plus commode de prendre comme variables indépendantes a, p et t au lieu de a, 6, t, les variables a et b étant données en fonction de a et |3 par les formules (34).
La pression p, à l'instant t, en un point {x,y), est une fonction de x, j/, t\ mais X, y sont des fonctions de a, p, ?; on a donc
dp dp dx^ àp àf doL " dx ô'x ày dx dp dp dx dp ày
d^ ^ dx d^ ~^ dy d^'
. . dp En remplaçant dans les deuxièmes membres de ces deux relations —
et ^ par leurs valeurs tirées des équations (3i) du mouvement, on obtient
dy les équations du mouvement sous la nouvelle forme
d ( p \ d^ dx^ d^y ày^
enfin l'équation de continuité (Sa) se transforme facilement à l'aide des relations telles que
dx dx doL dx d'^ ~da~ d'x da 6*3 da
et elle devient
dx dy dx dy\ ld^ ^ î^ ^ &x 'd^ ~ ^ d~:L ] \da db db da
comme on le vérifie directement et comme il résulte de la propriété bien connue des déterminants fonctionnels :
t/(a, b) d^oi, P) d{a, b)
D'après cela, l'équation de continuité revient à écrire que Ion a
dx dy dx dy .
A étant une constante indépendante de t.
Cela posé, les expressions ( 33 ) de :r et j permettent de vérifier les équations (35) et (36).
D'abord ces équations donnent, pour — > ^> '"> des valeurs qui, por-
494 EQLl LIBRE ET .MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
tées clans l'équation de continuité (36), donnent, après des réductions faciles,
r).v dy à.v dy 9zr
équation qui est bien de la forme (36) ou le deuxième membre est constant.
Ensuite ces mêmes équations (33) fournissent, {jour —5 • • •■> -j-ri '■•' des valeurs qui, portées dans les équations du mouvement (35), donnent
J- ( ^ Sy)= /i52e-/.|3 sin/t( a -^ st),
■TE\- — gy\ = ks- e-/'P cos /.-( a -^ 5/) — ks'- e--'''^.
Ces formules donnent les dérivées partielles de ^^^ £ry par rapport à a
P " et [ii, ces dérivées étant prises en regardant t comme constant. On a donc,
en intégrant,
£ — gy ^ — s2e-^fcos/t(a-+-50 -i- ^ s^-e-^'^^t'-^ G, p ^ 'j.
où C est indépendant de a et p mais pourrait contenir t. Remplaçant jk par son expression (33), on a la pression en fonction de a., '^, t :
(87) P ^^o-p^/|52\e-/pcos/(a4-5/)-^ i^-^e-s/'P+G.
Sur la surface libre, la pression doit avoir une valeur constante égale à la pression atmosphérique /)„.
Pour satisfaire à cette condition, prenons pour G une constante indépendante de t et assujettissons les constantes k et 5, jusqu'ici quelconques, à vérifier la relation
qui annule le coefficient de cos/.(a -1- sO- I^a pression est alors
(39) ^ = p('^p + i52e-2ApH-G\
où G est déterminé par la condition p =pa sur la surface libre. D'après celte formule (89), on voit que la pression est indépendante de t : elle conserve la même valeur pour une particule déterminée du liquide. En outre, comme/» dépend uniquement de [3, les surfaces de niveau, /j = const.,
sont les surfaces ^ = const. En particulier, la surface libre se compose des molécules pour lesquelles ^ a une valeur constante particulière ^o-
Forme de la surface libre — Sur la surface libre, ^ prend une valeur constante ^o- Une particule de la surface libre au temps t a donc pour coordonnées
=- e-^'Po sin k{(x -+- st), j =z^Q-\- -e-/'PocosA(a + st).
Pour une particule déterminée, a reste constant. Inversement, on obtiendra à un instant t les diverses particules de la surface libre en donnant à t une valeur numérique et faisant varier a de — oo à -l- co . La surface libre est alors un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan des xy et dont la trace sur ce plan est la courbe définie par les équations (40), dans lesquelles t est constant et a variable. Construisons d'abord cette courbe à l'instant initial t = o. Alors x el y prennent des valeurs a, b, et les coordonnées d'un point de la surface libre à l'instant initial sont
Y e-^"Po sin /i a,
- e-^'?o cos Aa,
Fi
J-'^MJ
La courbe décrite par le point M (a, b) quand a varie est une trochoïde ou cycloïde raccourcie, c'est-à-dire la courbe décrite par un point de l'intérieur d'un cercle roulant sur une droite fixe. En effet, imaginons un
cercle de rayon /■
roulant sur une droite horizontale AB d'ordonnée
r=Po
au-dessous de cette droite. Soit M un point invariablement lié au cercle à une distance
CM = i e-/'Po
du centre (^{Jig- 345). Supposons que, le point de contact du cercle étant
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en A sur Oy, le point décrivant M soit également sur Oy en P au-dessous du centre Gq. Le cercle ayant roulé sur AB de façon que son point de contact avec AB soit venu en D, le point de la circonférence primitivement en A est venu en N, et l'arc DN est égal à AD : si l'on appelle a la longueur AD, l'angle au centre NCD = o est tel que ro = %, d'où, d'après la valeur de r, o = Aa. Les coordonnées de M sont alors
a = a -T- CM sin'i, 6= 3„-4-CMcosç;
en remplaçant CM par sa valeur (4^) et <p par k-x. on a précisément, pour le lieu de M, la courbe (40 à construire.
Le point M est nécessairement à l'intérieur du cercle roulant, car, s'il était sur la circonférence ou à l'extérieur, la courbe aurait des rebroussements ou des points doubles, ce qui est physiquement impossible. D'après cela, CM est moindre que r, ce qui exige e-^?o<;i, Po>o.
jVous avons ainsi la courbe PMQ, dont une ondulation seulement est tracée, formant la trace de la surface libre sur le plan xOy à l'instant ^ = o. Dans cette courbe, la longueur d'onde Z, c'est-à-dire la dislance PQ entre les fonds de deux creux consécutifs P et Q, ou les sommets de deux vagues consécutives, est égale à la longueur de la circonférence roulante
