GA, GÂ2 A2A

Comme la distance A, Ao des deux tubes est constante, les segments GA, et GAo sont euv-mêmes constants ; comme le point G est fixe, les points A, et Ao décrivent des cercles ayant le point G comme centre. En outre, la somme des moments des quantités de mouvement étant constante par rapport à un axcGs parallèle aux tubes, les points A, et Ao se meuvent sur leurs cercles respectifs avec des vitesses constantes.

Les deux cercles de centre G que d 'crivent les deux tubes sont parcourus dans le même sens ou dans des sens contraires, suivant (lue le centre de gravité G est extérieur ou intérieur au segment A, Ao, c'est-à-dire" suivant que I, et lo sont de signes contraires ou de même signe.

Cas spécial où ïi + l-,:= o. — Si les deux tubes ont des intensités égales, mais tourbillonnent en sens contraires, on a I, 4- L = o (^^. 343); le point G est alors rejeté à l'infini, dans la direc-

Fig. 3:^3.

lion A,Ao, et les points A, et Ao décrivent, avec des vitesses égales, des droites lixes A,B, et Aol*, perpendiculaires à A, Ao : la valeur commune des deux vitesses est alors

ir. Al A?

I désignant la valeur absolue de l'intensité des deux tubes.

Une particule P placée sur la perpendiculaire CD au milieu

ClIAP. XXXVI. — MOUVEMENTS PARALLÈLES A LN PLAN FIXE. 4^7

de A,A2 a une vitesse W résultant, de deux vitesses W) et W^ provenant des tubes de tourbillon I, et lo ; ces deux vitesses sont respectivement perpendiculaires à PA, et PAo dans les sens donnés par les rotations des tourbillons, elles sont égales au quotient de - — l par la valeur commune des distances PxA, et PAo ; la

vitesse résultante W est donc dirigée suivant CD. En particulier, la vitesse de la particule placée au point A, milieu de Aj Ao, est

■ZT^ AÂi UTT AA2 2 77 Al A. 2'

elle est quadru|)le de la vitesse V des deux tubes de tourbillon. Atmosphère d'un tube de tourbillon. — Ce dernier cas particulier fournit un exemple simple d'un fait général signalé par sirW. Thomson (lord Kelvin) dans les Proceedings R. S. Ed., 1867, à savoir que chaque tube-tourbillon est accompagné d'une certaine quantité de fluide sans rotation qui lui forme une sorte d'atmosphère. Ainsi, dans le cas de deux tubes parallèles et de rotations inverses que nous venons de traiter, la vitesse de translation des tourbillons est moindre que celle qu'ils produisent entre eux sur une certaine étendue du plan médian; il existe un

Fig. 343 bis.

cylindre lieu des points où la vitesse du fluide a sa composante perpendiculaire au plan des deux tubes égale à leur vitesse de translation commune V : c'est ce cylindre qui limite l'atmosphère ; il entoure les deux tubes. A l'intérieur de ce cylindre, la compo-

santé de la vitesse du liquide parallèle à la vitesse de translation des tourbillons est supérieure à V; elle est moindre à l'extérieur. Les courbes tracées sur la figure 343 bis sont des lignes de flux par rapport aux tourbillons. Les lignes extérieures qui n'ont pas été tracées sont grossièrement parallèles à l'axe de symétrie, dont elles s'écartent pour contourner l'atmosphère des tourbillons mobiles. Les équations de ces lignes sont très faciles à déduire de l'analogie électromagnétique. Elles sont indépendantes de l'intensité (').

793. Tubes de dimensions finies. — Des tubes de dimensions finies peuvent être regardés comme formés par la réunion d'un très grand nombre de tubes infiniment déliés. Soient, à l'instant/, S,, So, . . . , S« les sections des tubes par le plan des xy; divisons S|, S;>, . . . , S„ en aires infiniment petites ch de coordonnées a et b, et appelons ^ la valeur du tourbillon en ch. L'ensemble des tubes sera la réunion de tubes infiniment déliés de bases da et d'intensités respectives I =^ iX^ch.

Prenons par exemple-le cas d'un fluide indéfini dans tous les sens, parallèlement au plan des xy\ on pourra appliquer à l'ensemble des tubes les théorèmes précédents. Par exemple, le centre de gravité G du système de tubes est immobile ; ce point a des coordonnées Xq, J^o données parles formules (G), qui deviennent actuellement

en remplaçant chaque intensité lyt par sa valeur l'C^di.

T ube cylindrique ho m.0 gène dans un liquide indéfini. — Soit, par exemple, un seul tube ayant pour base un cercle S de centre G {^fig' 344) et de rayon R : supposons qu'en chaque point du cercle S le tourbillon ait une valeur constante î^, le tourbillon étant nul à l'extérieur. Cherchons la distribution des vitesses. Tout d'abord, le centre de gravité qui se confond avec le

(') BniLLOUiN, Recherches récentes sur diverses /questions d'Hydroclynamique, 1891, p. 18.

centre G du cercle e?>ljîxe. Ensuite, il est évident, par raison de symétrie, que la vitesse W d'un élément quelconque P est per-

pendiculaire à GP et fonction de x, y seulement; le mouvement eilpermatient. Pour avoir W, prenons la circulation le long d'une circonférence C décrite de G comme centre, avec GP = /• comme rayon; cette circulation est

/ u dx -}- t' dy = / ^\' ds cos ( W, ds ) ^^ ir. r W.

D'autre part, d'après le théorème de Slokes, elle est égale (n" 7o6) à l'intégrale double

étendue à l'aire du cercle C. Deux cas sont à distinguer :

1° Le point P est extérieur au tube de tourbillon S, /' >> Pi ; alors l'intégrale double (237) est étendue seulement à l'aire du cercle de base S, car, en dehors de S, ([^ = 0. Comme dans S, !^ est constant, l'intégrale double (27) est

et l'on a

2° Le point P est intérieur au tube de tourbillon S, r<;R; alors l'intégrale (27) est étendue à l'aire du cercle C de rayon /■, et, comme X^ est constant, elle a pour valeur