CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ. 5oi

et des résultats si intéressants par leur généralité et leur régularité géométrique que W. Lliders (' ) et M. le colonel Hartmann (-) ont fait connaître.

Le problème fondamental de la théorie de l'élasticité est d'exprimer les efforts dans le milieu déformé en fonction des éléments caractéristiques de la déformation en chaque point, afin d'en déduire les équations de l'équilibre ou du mouvement du milieu sous l'action de forces extérieures données. Si l'on appelle, comme nous l'avons fait au Chapitre XXXII, x^ y, z les coordonnées d'un élément avant la déformation et .r,, y^^ ^, les coordonnées du même élément après la déformation, on peut écrire les équations de l'équilibre ou du mouvement en prenant comme variables indépendantes le temps t et les variables ^,, j',, ^i définissant les positions des éléments à l'instant t, ou le temps t et les variables .r, y, z définissant les positions initiales des éléments. Le système des variables /, :r,, jv'o ^i est analogue au système des variables d'Euler en Hydrodynamique, et celui des variables f, x, y^ z analogue au système des variables de Lagrange. Le premier système a été employé par les fondateurs de la théorie; M. Boussinesq (^) et, après lui, M. Brillouin ('') ont montré, par des méthodes différentes, comment on peut écrire les équations dans le système des variables t^ x, y, z : les équations ainsi obtenues sont exposées d'une manière simple et rapprochées les unes des autres à la page 4i du Mémoire déjà cité de MjM. Cosserat.

Gomme nous l'avons déjà dit, nous nous bornerons ici au cas des déformations infiniment petites : nous suivrons, dans ses

(') Ueber die yEusserung der Elasticitàt an stahlartigen Eisenstàben. . . . {Dinglers Polytechnisches Journal, Bd CLV, S. i8. Stuttgart, 1860.)

( ^ ) Distribution des déformations dans les métaux soumis à des efforts {Revue d'Artillerie, t. XLV et XLVI, 189^-95). Voir également le compte rendu des séances du Congrès international des méthodes d'essai des matériaux de construction, tenu à Paris du 9 au 16 juillet 1900, à l'occasion de l'Exposition universelle (Paris, Dunod); et l'Ouvrage de M. Ch. Duguet, Déformation des corps solides : 1'° Partie, Statique spéciale, 1882; 2" Partie, Statique générale, i885. (Paris, Gauthier-Villars.)

(') Théorie des ondes liquides périodiques, p. 5i6 {^Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, t. XX).

(*) Déformations homogènes finies. Énergie d'un corps isotrope {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CXII, p, i5oo-i5o2; 1891).

5o-2 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

grands Irails, le mode d'exposition élémentaire adopté par M. Sarrau dans l'Ouvrage intitulé : Notions sur la théorie de V élasticité ( Gauthier- Villars, 1889).

On trouvera de nombreuses indications historiques dans le Mémoire déjà cité de MM. Cosserat et dans l'Ouvrage deTodhunter et Pearson, A History 0/ the Elasticity and of the strenglh of materials, froni Galilei ta the présent tinie.

I. — ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE ET DU MOUVEMENT DES MILIEUX ÉLASTIQUES ISOTROPES ET HOMOGÈNES, POUR DES DÉFORMATIONS INFINIMENT PETITES.

797. Étude des efforts intérieurs. — Nous avons, dans le Chapitre XXX, étudié la distribution des eflforts intérieurs aux divers points d'un milieu continu. Nous avons vu que, pour connaître à chaque instant en chaque point du milieu l'effort ^ di qui s'exerce sur la face négative d'un élément t/o- dont la normale a pour cosinus directeurs a, [i, y, il suffit de connaître, à chaque instant f, six fonctions N,, N2, N:,, 1',, To, T3 des coordonnées du point; on a alors, pour les projections de l'effort T rapporté à l'unité de surface,

f T; = T2a + Ti3-f-\3Y.

Nous appellerons état naturel du système continu la configuration du système dans laquelle tous les efforts intérieurs sont nuls^ c'est-à-dire dans laquelle N, , No, N.,, T,,To,T3 sont nuls en tous les points.

Imaginons qu'on déforme le système, à partir de cet état naturel, en lui appliquant des forces extérieures qui peuvent être des forces analogues à des pressions appliquées aux éléments delà surface extérieure du milieu, et des forces analogues à des poids appliquées aux éléments de volume. Alors chaque point du milieu subit un déplacement u, V, W que nous i-egarderons comme infiniment petit; de telle façon que l'élément P, qui, à l'état naturel, avait pour coordonnées jc, y, :;, prenne une nouvelle position P,