CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ. 5o

de coordonnées

(Pi) Xi = x-^-\x, yi=y-\-v, zi = z-i-w.

Dans cette nouvelle configuration du système, les efforts intérieurs ne sont plus nuls et, en chaque point P, (j;,, j,, z-i) du milieu déformé, les six quantités N et T définies au Chapitre XXX prennent des valeurs N], N.*^, N.J. T],T.',, T3 qui sont des Ibnclions de :r,, j), z, à l'instant considéré, fonctions qui dépendent de l'ensemble des déformations subies par le milieu.

Pour rappeler que ces quantités se rapportent au point x^^ j',, z-,. nous les affectons de l'indice supérieur i.

Le premier problème à résoudre est de trouver en chaque point jt,, j)^,, z, du milieu déformé les valeurs de NJ, N.', N.j, T]. T^, T3 connaissant la déformation du sjslème.

Une fois ces valeurs trouvées, on aura pour les équations de l'équilibre ou du mouvement du système les équations suivantes identiques aux équations (i4) ^^^ ri'' 616 :

, oxi Oj-^ Uzi

OÙ pi est la densité du système au point i\(x,,j\, g,) après la déformation, X,, \(, Z, la force intérieure rapportée à l'unité de masse agissant en ce point, et J' l'accélération en ce point, accélération qui est nulle dans le cas de l'équilibre. Les composantes de l'accélération s'expriment d'une manière simple, comme il suit : on a, à l'instant i,

(3) xi = x-hu, j'i =7-Fv, ^i = ^^w,

U, V, W étant des fonctions des coordonnées initiales a;, y, z de l'élément et du temps t : pour un élément déterminé, x, y^ z coordonnées de l'élément au temps /q sont des constantes, etx,,y,, Zs sont des fonctions du temps définies par les équations (3). Les

d-Xi

~dl^

- ÙV^ '

dr-

= dr-'

dV-

df^

5o4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

projections de raccélération J' de l'élément sont donc

[ Ji =

(4) 'ji =

Ji =

où nous employons pour les dérivées de u, v, W le c) de ronde afin d'indiquer cpie les dérivées de u, V, W par rapport à t sont prises en regardant x^y, z comme constants.

Servons-nous maintenant de ce fait que la déformation considérée est infiniment petite : il en résulte que x^^ yt^ z-t diffèrent infiniment peu de x, y^ z; les valeurs des quantités ISJ, N^, Ng, T], ï.',, Tg au point P, (.r,, j, , ^, ) diffèrent infiniment peu de leurs valeurs N, , No, Ng, T, , To, T3 au point P{x, y, z), et les dé-

. ,, dN\ dT:\ ,.„., . • r • . ^ àNi

rivées partielles — — ^j —-^} •■• diiiereni iniiniment peu de -; — >

' dxi dyx ^ àx

— ^ , . . .. De même, la densité 0| et la force X, , Y, , Z, au pointer, ,

j/,, r, difl'èrenl infiniment peu de la densité p et de la force X, Y, Z au point x^y^ z. Les équations (2) peuvent donc être remplacées par les suivantes qui s'en déduisent en écrivant N(, . . ., T3, ... au lieu de N J, . . . , T3, . . ., p au lieu de p, , X, \, Z au lieu de X,, \,, Z| et en mettant pour J],, J',, Jî leurs expressions (4)

i à^i ôT, c)T, / &^\i\

dx dy dz ' \ Ot-

^ ' ' ôx ôf ôz ' \ dl^-

"^ "^ Ijy ~ ~dz' ~ ^\ '>'- / '

Remarque sur la définition de l' état naturel. — Nous venons de donner une définition purement théorique de l'état naturel. On peut aussi, et c'est ce que fait par exemple M. Poincaré dans ses Leçons sur l'élasticité (Carré et Naud, 1892), considérer comme état naturel un étal d'équilibre contraint quelconque obtenu par l'action de certaines forces et supposer que l'on déforme le milieu, à partir de cet étal, en faisant agir de nouvelles