CHAPITRE XXXA'II. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ. 5o

forces. Nous reviendrons sur ce point, dans un cas particulier, à propos de la superposition des déformations infiniment petites

798. Expressions des N et des T en fonction des éléments de la déformation. — Nous allons maintenant exprimer les N et les T en cliaque point P(x, y, z) en fonction des éléments de la déformation. Cauchj et Poisson ont traité ce problème en adoptant l'hypothèse des forces centrales, c'est-à-dire en admettant que deux points matériels quelconques du milieu s'attirent ou se repoussent suivant une certaine fonction de leur distance. Cette même hypothèse a été adoptée par Lamé, qui a admis en outre cjue l'action mutuelle de deux points quelconques est nulle dans l'état naturel, et que ces points s'attirent ou se repoussent suivant que leur distance est supérieure ou inférieure à celle qui correspond à l'état naturel.

Cette hypothèse de Lamé est beaucoup plus particulière que celle que nous faisons ici en admettant que les efforts intérieurs sont nuls dans l'état naturel, car nous admettons seulement que les forces intérieures agissant sur un point matériel du milieu ont une résultante tiulle dans l'état naturel et non qu'elles sont nulles séparément, comme le fait Lamé.

Nous faisons en outre, sur les forces intérieures, une deuxième hypothèse que nous avons déjà discutée (n° G09) : c'est que les actions mutaelles des éléments matériels du milieu deviennent nulles dès que les distances mutuelles de ces éléments sont supérieures à une longueur très petite appelée rayon d'activité moléculaire.

Par suite de cette dernière hypothèse, les valeurs des quantités N,, No, N3, T,, To, T3 en un point P du milieu, à un instant ^, dépendent uniquement de la déformation d'un élément de volume très petit entourant P et ne dépendent pas de la déformalion du reste du milieu.

Appelons, comme plus haut (n° 683), u, V, w le déplacement infiniment petit subi jiar un point P(^, j", z) à partir de l'état naturel, déplacement qui amène ce point P dans une position P,(x,,y,, ::,) telle que

(6) x^ = x^\x, yi=y-\-v, ^, = ^-Hw.

5o6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Nous avons vu, dans la théorie des déformalions infiniment petites (Ghap. XXXII, § IV), que la déformation infiniment petite est caractérisée en chaque point P(:r,y, z-) par les valeurs que prennent en ce point les six fonctions caractéristiques

dw dz'

dv7 dv dy dz

dw dx

dv du

dx dy'

rappelons que e,, £0, £3 sont les coefficients des dilatations linéaires des éléments issus de P et parallèles aux axes de coordonnées, et que la somme de ces trois coefficients est égale au coefficient de dilatation cubique B au point P,

6 = £] -I- Eo-i- £3 ;

comme la somme £|-|-£2+î3 a ainsi une signification physique en chaque point P, on voit, comme nous l'avons déjà dit, qu'elle est indépendante de V orientation des axes.

Les valeurs de N,, No, N3, T,, T2, T3 au même point P étant des fonctions de la déformation d'un élément infiniment petit entourant P, c'est-à-dire de la déformation au point P, sont des fonctions des six quantités £,, £0, £3, yi, yo, y;j qui caractérisent cette déformation :

Nl = /l(îlr '2, £3,71,72,73), •

Ti = '■fiCîi, £2, î3, 7', T2, 73)' • ■

les quantités N), îSo, Nj, T,, Tj, T3, s'annulant par hypothèse dans l'état naturel, doivent s'annuler quand la déformation est nulle, c'est-à-dire quand £1, £0, £3, yi, yo, ys sont nuls à la fois. Comme £(, t-i-, £3, yi, ^{i-, ys sont infiniment petits, développons les six fonctions /i, . . ., 'i,, ... des formules (8) par la formule de Mac-Laurin : nous obtenons des séries procédant suivant les puissances positives croissantes de e,, £0, £3, yi, y^, y3 ; ces séries ne contiennent pas de termes constants, car elles s'annulent avec les variables. Négligeons maintenant les termes contenant les carrés et les produits des £ et des y; nous avons finalement pour les N et les ï des expressions linéaires et homogènes en £1