CHAPITRE XXWII. — SUR LA THÉORIE DE L ' K L A ST I C IT É . 5o
symétriques pai' rapport à ces mêmes plans; donc les efforts sont aussi distribués symétriquement par rapport à ces ])lans, et la quadrique directrice des efforts admet ces mêmes plans comme plans principaux.
Imaginons qu'on prenne les axes PX, PY, PZ comme axes de coordonnées; l'équation de la quadrique Q devient
(10) *(X, Y, Z) = /îiX?+ /ZjY^H- n:jZ2 = I
et celle de la quadrique (E)
(11) ^F(X, Y,Z) = (i + 2ei)X2-f-(i-+-?.t;2)V2-4-(i-+- iei)Z^ = i.
Les coefficients n,, n., n^ de la quadrique (Q) sont, dans ce nouveau système d'axes, donnés en fonction des coefficients e,, Ca, 63 de la quadrique (E) par les formules (9) qui sont indépendantes du choix des axes : comme, actuellement, les valeurs dey,, Yj) Ys sont nulles, on aura, en particulier,
Mais, si l'on permute les axes PY et PZ, le coefficient n , de l'équation (10) ne change pas et les coefficients 62 êtes de l'équation (11) se permutent. Donc /i, ne doit pas changer quand on permute e.
et e-i, et l'ou a
Nous aurons alors
/ii = Aiei-4- AaCeo-t- ^3), ou encore
(i-i) ni= (Al— A2)ei-h Ai(ei + e^-h e^).
La somme e, + e^ H- 63 est le coefficient de dilatation cubique 8 au point P :
Nous écrirons alors l'expression (12) de /2i : (i3) «1 = — aO — ajxe,,
X et [Ji désignant de nouvelles constantes. En permutant circulairement les axes PX, PY, PZ, c'est-à-dire /?,, /i2, /^s et <?,, e., 63, on a
\ 112= — ^^^ — '2-iJ-e2, ^^^ \ «3 = — X6 — iiaes.
5tO ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Dès lors, le premier membre <E>(X, Y, Z) de l'équation (lo) de la qiiadrique (Q) est lié au premier membre de l'équation (ii) de (E) par l'identité
(i5) *(X, Y, Z) =- [JL W(\, Y, Z) — ().e - ix) (X2+ Y2^ Z2)^
qui montre comment l'équation de l'une des quadriques se déduit de l'équation de l'autre.
Si l'on revient maintenant aux axes primitifs Px'^ ^y' j P^'? l^ fonction <1>(X, Y, Z) se transforme en cp(.a;', y', s'), la fonction W(X, Y, Z) en 'bÇx', y', z'), et enfin X2+ Y'-{- Z^ se transforme en
L'identité (i5) donne alors la suivante :
(i6) 's(x',y,z') = — iJ.'i(x',y,z'} — {U — u)(3:'2^-y-2-f- -'2),
ou, en remplaçant cp et à par leurs expressions développées,
-1- (i -^ -it-^jz'^-^ l'iiy'z'-^ i'(2z'x'-h "X-^ix'y']
En écrivant que le premier membre est identique au second, on a les relations
(17) \2 = -}.e-2|aE2, T2 = -[JLY2, 1 N3 = — X6 — 2 l-lEs, T3 = — [JLY3,
OÙ
Ces relations donnent, pour un milieu homogène et isotrope, les expressions des N et T en fonction des £, y avec deux constantes \ et pL. D'après les valeurs des e et y en fonction de u, v, W dans le cas d'une déformation infiniment petite [éq. (7)], les expressions ci-dessus s'écrivent
\ ax
(18) N, = -À0-2îJi^, > dy
N3--À0-2iJL^,
az
Ti = -
"^ dz)
/du -^'[dz
dx j
/àv
