CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ. 5ll
avec
. du d-V ôw
^ ^' (Jx Oy uz
Résumé des liaisons géométriques entre les deux quadriques. — L'identité (16) montre que les deux quadriques (Q) et (E) ont les mêmes plans de sections circulaires. Cette propriété entraîne la première, à savoir que les deux quadriques ont les mêmes plans principaux. On achèvera de caractériser la relation qui lie les longueurs des axes des deux quadriques, en remarquant que l'on a
800. Constantes caractéristiques d'un milieu élastique homogène et isotrope. — Les deux constantes \ et ]x caractérisent le milieu élastique isotrope considéré. Cauchj ('), en adoptant l'hypothèse des forces centrales, a montré que si la déformation a lieu à partir de l'état naturel, on a, pour les solides,
Mais cette conclusion, fondée sur une hypothèse trop étroite, doit être rejetée. On admet, par exemple, dans la théorie de la lumière, que l'éther, en dehors des corps cristallisés, est un milieu élastiquie isotrope pour lequel X-l-2|ji.=:o. D'autre part, pour un fluide parfait élastique, [j. est nul, cardans un fluide parfait tous les efforts tangenliels intérieurs sont nuls : les quantités T,, To, T3 doivent alors toujours être nulles, ce qui exige [x = o.
C'est surtout par le rapport - qu'est caractérisé un milieu
élastique : RirchhofT désigne ce rapport par ik; MM. Cosserat ont introduit le nombre
M. Duhem [Hydrodynamique , Elasticité, Acoustique, t. II, p. 2i3-2i4, aSi, 240) discute le problème et met en évidence l'hypothèse suivante, souvent adoptée :
|JL >> O, 3 X -+- 2 [JL >• o,
(') Voir Anciens exercices, 1828; voir également Théorie de l'élasticité des corps solides, par Clebscii, traduction Saint-Venant, p. 79.
c'est-à-dire
La même question est aussi envisagée par M. Cesàro {Inlrodiizione alla teoria matematica délia elasticiià, p. ^4)-
En se plaçant à un point de vue analytique, on peut enfin se demander pour quels systèmes de valeurs de \ et <j. les problèmes énoncés aux n°'' 801 et 802 ont une solution unique.
801. Équations de l'équilibre et du mouvement intérieurs. — En remplaçant, dans les équations (5) du n° 797, les N et les T par les valeurs (i8) que nous venons de trouver, on obtient, pour déterminer les déplacements u, V, w en fonction de x, y, z. i, les équations difiérentielles
( A -v IJL) — -i- IJ. Au -h p X = p — - :
(io)
-i- ;jL Av -7- p 1 =0 -— - } ' dt-
„ d'-w -5- ]x Aw -+- oA = 0
' ' ' dt-
où 0 a la valeur (19) du numéro précédent et où le symbole A, appliqué à une fonction F, désigne, comme précédemment, l'opération
AF - — -^ rJ2F ^ c)2 F dx- ' dy- dz-
Dans chaque problème particulier, il faudra Irouver des fonctions u, V, w vérifiant les équations différentielles (20) qu'on appelle les équations indéfinies, et satisfaisant, en outre, aux conditions initiales et aux conditions aux limites.
Conditions initiales. — Les conditions initiales consistent en ce que, à l'instant ^ = o, les positions et les vitesses des points
du milieu sont connues : les fonctions U, V, W et leurs dérivées ^- >
dt
àv dw 1 • . 1 1 1 1 / • ■
— j -— doivent donc prendre, pour ^ = 0, des déterminations
dt dt 1 ' i >
connues en 5;, i', z.
Conditions aux limites. — Les conditions aux limites consistent en ce que, pendant toute la durée du mouvement, les éléments de la surface extérieure du milieu sont assujettis à certaines conditions : il peut, par exemple, arriver que la distribution des efforts
