CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THEORIE DE L ' É L A S T I C I T E . Ôl

[déformation piu-e)

éy dz

On peut alors simplifier les équations d'équilibre comme il suit. On a d'abord pour la dilatation cubique

puis on vérifie immédiatement que

Au = A -^ = — Ao = -— , Av = — » Aw = — •

(Jx Ox ■ Ox 'iv '^-

Les équations d'équilibre (21) s'écrivent alors

l ax

1 ^ àO ^,

(■23) { (X -!-■>. l-i) — +pY =0,

( À -]- 2 li. ) -3 + p A = o ;

elles présentent une identité de forme remarquable avec les équations d'équilibre d'un liquide; il suffirait en effet d'j remplacer /X l 2a)Q par —p pour qu'elles aient la forme des équations d'équilibre d'un liquide (n"624).

Par exemple, si les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction U(.r,y, .^),

" ôx' dy ôz

les trois équations (aS) peuvent être remplacées par l'équation unique

(24) (X + 2.Ji)0 -+-pU = A-,

A- désignant une constante. En effet, les équations (28) expriment alors que les dérivées partielles du premier membre de (24) par rapport à ^,y, :; sont nulles.

Les expressions (18) des N et des T en fonction des dérivées

5l8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

des U, V. w prennent, dans l'hypothèse actnelle, la forme suivante

Ni = — aO — 2 'x -—' , Ti =

Conditions aux limites. — Supposons que Ton donne la force extérieure Fgd'J appliquée sur les éléments de la surface du milieu : les conditions aux limites (22) deviennent, d'après les valeurs ci-dessus des N et des T,

^ ' ' dx^- 1 ' dx dy^ ' dx âz ' '

do ou, en remarquant que -— — ' ^ cl que

dx ' dy ' * âz

désigne la dérivée -y- de u p.rise, suivant la normale extérieure à

la surface S (n° 536),

' , V . du

X,. = /Ua -^ 1 ;JL -^ •

Cltl

(2G) / Y, z=Xô3-l-2a^,

> an

Remarque. — On peut ramener au cas que nous venons de traiter le cas, en apparence plus général, où les composantes de la rotation moléculaire (n" 682) seraient constantes dans toute l'étendue du milieu. En effet, il suffirait d'imprimer d'abord au système une rotation d'ensemble égale à cette rotation constante pour que les nouveaux déplacements amenant le système de sa nouvelle position à la position finale d'équilibre contraint aient lieu sans rotation moléculaire.

805. Équilibre élastique en l'absence de forces extérieures appliquées aux éléments de volume. — Si les forces Xp <:/-:, Yp ^/t, Zoc/t sont nulles, les équations indéfinies (21) prennent la