CHAPITRE XXX Vil. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ. SlÇ

forme

(27) { (X+[^)— +ia/iv =0,

( À 4- [i. ) — -4- [JL AW = O.

Les conditions aux limites sont les mêmes que plus haut.

Dans le cas où il existe un système de déplacements possible dérivant d'une fonction cp, il faut et il suffit, pour que les équations d'équilibre indéfinies soient satisfaites, que la dilatation cubique soit constante dans le milieu déformé. En effet, dans celte hypothèse, les équations (aS) du numéro précédent, où

deviennent

dx dy oz

en supposant A+ au. différent de zéro. Elles montrent que B est constant. Comme Q est égal à A-^, on voit que la fonction cp vérifie alors une équation de la forme

A- étant la valeur constante de 9. Les conditions aux limites prennent la forme (26) indiquée au numéro précédent.

806. Exemple I : Compression normale et uniforme d'un milieu isotrope ('). — Soit un milieu isotrope limité par une surface S : faisons agir, sur chaque élément superficiel do- de la surface, une pression normale P d'y proportionnelle à ch, P étant le même pour tous les points de la surface. Ce fait se présenterait, par exemple, si le milieu était un corps solide plongé dans un gaz à une pression donnée.

Dans cet exemple, on donne les forces extérieures sur la surface. Si l'on appelle a, [3, y les cosinus de la normale extérieure, on a ici, comme la pression P d^ est normale, mais dirigée vers

(1) Lamé, Leçons sia- la théorie mathématique de V élasticité des corps solides.

l'intérieur,

X^ j~ = P 7 ch, Y, ch = — P 3 ch, Z, ^7 = - P 7 d7,

et les conditions aux limites (22) deviennent

1 Pa = N,x-T3?-4-ToY,

sur la sui'face S.

On vérifie immédiatement qu'on peut satisfaire aux équations indéfinies (aj) et aux conditions (28) aux limites en prenant

(29) u = cr, v = cy, 'W = cz- (c constant), valeurs qui dérivent de la fonction

cp = - c(x- -h y^-i- Z-).

D'abord les équations indéfinies (27) sont satisfaites, car toutes

les quantités -r-, Au, . • - sont nulles.

Restent les équations à la surface (28;. D'après les valeurs (29) de u, V, W, on a, en se reportant aux expressions (18) des N et ï en fonclion des composantes du déplacement

0 = 3 c, N 1 = X. = \3 = — ( 3 X H- 2 ;j. ) c, T,= To=T3=o

dans tout le milieu. En particulier, sur la surface, on devra avoir

[éq.(28)]

Pa = X,a, P^ = Xoa, Py = N3Y,

doù l'on tire