CHAPITRE XXXVII. — SUR L\ THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

sur les bases. Sur la base siluée du côté des z posilifs a = [i = o, V = I X. = Y^ = o, Ze = F : la normale extérieure est parallèle

à O3; comme u et V ne dépendent pas de z, leurs denvees ^> — parallèles à O:; sont nulles; comme w = cz, sa dérivée nor-

maie à la base, 'J^ = '^ , esl égale à c; les deux premières des

an dz ^

relations (44) sont donc identiques et la dernière donne, en y remplaçant 0 par sa valeur 2rt + f ,

(45) F = À(2a-+-c) + 2}xc.

Pour l'autre base, on obtient la même condition.

Surfaces latérales. — Comme la distribution des déplacements et des efforts est symétrique autour de Oz, il suffit d'exprimer que les conditions aux surfaces latérales sont remplies le long des génératrices situées dans le plan zOx. Nous appellerons /'o et /-, les rayons des surfaces cylindriques intérieures et extérieures, Po et P, les valeurs par unité de surface des pressions normales appliquées sur ces deux surfaces.

Prenons un rayon déterminé AMoM, du cylindre dans le plan zOxiJig. 346) : en un point M de ce rayon ayant pour coordonnées ^ et :;, /■ est égal à x, et 7 est nul ; par suite

et les valeurs (4o) de u, V, W deviennent

Appliquons maintenant les formules (44) aux deux surface'^ cylindriques. Sur la surface extérieure (en M,), la normale extérieure est M,N, parallèle à 0.r dans le sens positif de Ox : donc 0.= I, ^ = ^--=0. Les dérivées ^, '^^^^ -^prises suivant cette normale sont^, '^, ^. c'est-à-dire «- ^' 0,0, où il faut faire

CLJC LLJC CCk*.

a^ = r, . Enfin, en ce point M,, X^ = — P(, Y^=Ze=o. Les deux dernières équations (44) sont alors identiques et la première

donne, en remplaçant f) par sa valeur in -h c,

— Pi =/.C2a — c)-f-2u(a ).

Sur la surface intérieure, en Mq, on fera un calcul analogue, en remarquant que la normale extérieure MoN^ est de sens contraire à O^, y. = -\, 3 = -' = o: d'où^=z — ^, ..: en

' ' ' an dx

outre X^ = P(,, If p = Z^ = G. On obtient ainsi la condition (48) V^=-\{ia-c) — iJa--^

Les trois équations {4Q), (4;) et (48) déterminent les valeurs des constantes a, b, c en fonction des données :

2|-i(3X -H 2;jij 'i— /"ô 2;JL(3). — 2;j.j '

I r|7-f(Po-P,)

"i'x r-, — rr.

ç ^ __^j rg Pp-zj P, '/. -^ y. p

,a(3À -r- 2;jl)- /-f /'l |Jl(3À-T-2U)

Ces formules, dans lesquelles est encore en évidence le pôle ; = ô' sont fondamentales pour la théorie du frettage des canons, pour laquelle nous renverrons le lecteur au Cours de Mécanique de M. Sarrau à l'Ecole Polytechnique et aux Etudes sur la résistance des tubes métalliques simples ou composés avec application à la construction des bouches à feu, par le général Virgile {Mémorial de l'Artillerie de la Marine, t. I).

809. Indications sommaires sur quelques travaux Signalons d'aboi fl

une autre application classique, celle de la torsion d'un cylindre circulaire (Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité, XIV* Leçon, p. i86dela première édition), puis le célèbre Mémoire de Barré de Saint- Venant Sur la torsion des prismes (Savants étrangers, t. XIV, i855), où le même problème est envisagé pour d'autres sections transversales. Une autre application intéressante est le problème du plan indéfini résolu par M. Boussinesq (Application des potentiels, etc.; Gauthier-Villars, i885) et, à peu près en même temps, par M. Cerruti.

Arrivons maintenant à quelques travaux plus récents relatifs à l'intégration des équations de l'équilibre élastique et supposons, pour fixer les