CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE l' EL AST IC 1 TÉ
Plaçant l'origine au centre de figure {fig. 346), prenons l'axe O z parallèle aux arêtes. Considérons un point quelconque M;
désignons par (^x^y^z) ses coordonnées dans l'élat naturel et par /• sa distance à l'axe Os de sorte que
Les forces appliquées au solide sont telles que, dans la déformation, le point M se déplace dans le plan méridien passant par sa position primitive, de sorte que l'on peut décomposer son déplacement en deux, l'un £ suivant le prolongement de la distance ;•, l'autre w parallèle aux arêtes.
Nous supposerons que s ne dépend que de /■ et que "W est proportionnel à 5 ; en posant, en conséquence,
nous allons vérifier que l'on satisfait à toutes les conditions de l'équilibre par des valeurs convenablement choisies de la fonction c et de la constante c.
Remarquons d'abord que les valeurs admises pour u, V, W sont les dérivées partielles d'une fonction o de x, y, z\ on a, en
effet,
X dx -^ y cl y ,
w. dx -\- -v dy ^ MV dz = z ; + c s az.
Or, la relation (89) donne
X dx -hy dy = rdr;
donc l'expression précédente est égale à zdr -{- cz dz et elle est, par suite, la différentielle totale de la fonction
Ir —
11 en résulte (n'^ 805) c|ue, pour satisfaire aux équations indéfinies de l'équilibre, il suffit d'exprimer que la dilatation cubique est constante. Or, on déduit des valeurs (4o)
J\x X' di y- dv y- dt x- dw
ox r- dr r-^ "' dy r- dr ~^ f^ '' 0:,
Il en résulte
^ ~ dr ' ;■ ' ""'
et l'on a, par conséquent, en désignant par a une constante,
dt £ d( rz)
-, — ': — = -2 a ou — - — = 2 a /•.
a/- r dr
L'intégrale générale de cette équation est, en appelant h une autre constante,
En adoptant cette valeur, les déplacements (4o) satisfont aux équations indéfinies. Ces déplacements renferment ainsi trois arbitraires «, b. c que nous allons déterminer de manière à salislaire aux équations aux limites,
Comme ici u, V, w dérivent d'une fonction c;, on pourra écrire les conditions aux limites sous la forme du n° 804
Xg = AfJa -1- 9. ;JL -j— , an
an
les dérivées étant prises suivant la normale extérieure à la surface du milieu.
Bases. — Appelons F la traction par unité de surface exercée
