CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

données par des équations de la forme ( u = p cos{/ix — st -^ x),

q cos{/ix — st -h :i),

p, q désignant les projections de OD sur les nouveaux axes Ox et Oy.

On voit f|ue les divers points P sont animés de mouvements vibratoires simples identiques s'efTecluant suivant des droites parallèles à OD et ayant tous la même amplitude maximum égale à ~ OD : mais à un même instant t les divers points ne sont pas dans la même phase du mouvement. La vitesse d'un des points P, à l'instant t est évidemment parallèle à OD : elle a pour projections sur les axes Ox et Oy

— = ps sin{ h X — .s/ — a ),

àv

—— = qs sm(hx — 5< 4- a).

ot '

La période T du mouvement vibratoire de chaque point

est appelée la durée de La vibration.

Cherchons quels sont, à un instant déterminé ^, les points P du milieu qui ont subi le même déplacement et qui possèdent la même vitesse. Ce sont les points pour lesquels les deux fonctions

cos(/ix — s^-i-a), èin(hx — st — oc)

ont des valeurs déterminées

cos^, sin[3,

[i désignant une constante. Les points P cherchés sont donc situés sur les plans ajant pour équations

(56) hx — st ^ % = '^ -T- ik- (A' entier);

tous ces plans sont parallèles au plan II et équidistants. La |)Jus courte distance / de deux de ces plans est la longueur d'ondulation

Quand t varie, les plans parallèles définis par l'équation (56) se déplacent avec une vitesse

dp^ s 'dt ^ Ti

qu'on appelle vitesse de propagation

Ces définitions posées, exprimons que les valeurs (54) de U, V; W vérifient les équations générales (5o). On a immédiatement

0 = — hp sin{hx — st -h ol), Au = — h'^p cos( hx — st-h'j.), Av = — /i-q cos{hx — st -i- y. ):

■— - = — s^p cos{nx — st -i- y. ), = — s- a CCS ( fix — st -\- ol).

Portant ces valeurs dans les équations du mouvement (5o), on voit que la dernière est identique, car w est nul; les deux autres donnent, après suppression du facteur cos(hx — st -\- a),

(59) P[?^' — (X -^ 2 ;j. )/«■-] = 0, ^jips^ — iJ.h') = o.

Ces équations se décomposent : elles montrent que, si A + y. n'est pas nul, l'une des quantités p ou q doit être nulle.

1° Si/? = o, la vibration est transversale : la direction OD de

la vibration est parallèle au plan de Tonde, c'est-à-dire perpendi-

ctdaire à la vitesse de propagation. La deuxième équation (09)

donne alors

d'où, pour la vitesse de propagation des vibrations transversales,

Dans ce cas, 0 = o ; le mouvement a lieu sans dilatation ni compression (n° 687).

2° Si ^ = o, la vibration est longitudinale : la direction OD de la vibration est perpendiculaire au plan de l'onde, c'est-à-dire