HAPITRE XX XVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

parallèle à la vitesse de propagation. La première des équations ( ^9) donne alors

ps- — (X -h i[x) h- = o,

d'où, pour la vitesse de propagation des vibrations longitudinales.

Dans ce cas, les déplacements u, V, W dérivent de la fonction

CD = ^ s\n{/i X ^ s/ -h ce) ;

la rotation moléculaire est nulle à chaque instant {n^ 686).

En résumé, un milieu élastique déterminé ne peut transmettre que deux sortes de vibrations par ondes planes, des vibrations transversales ou des vibrations longitudinales, se propageant avec des vitesses propres caractéristiques du milieu et indépendantes de l'amplitude et de la longueur d'onde.

Les phénomènes lumineux sont attribués aux vibrations d'un milieu élastique, que l'on considère comme isotrope pour les corps non cristallisés, mais qui possède la propriété exprimée par l'équation À + 2 [j. = o. Alors la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est nulle et le milieu ne peut propager que des ondes planes à vibrations transversales.

Au contraire, pour un fluide parfait, u. = o, car un fluide parfait ne peut pas exercer d'efforts tangentiels intérieurs

Ti = T., = T, = 0 ;

la vitesse de propagation des vibrations transversales est donc nulle, et le fluide ne peut propager que des vibrations longitudinales.

Reinai'que. — Si ). -\- y, était nul, les équations (09) pourraient être satisfaites en donnant à p el q des valeurs quelconques et en prenant

ps- — IX h- = 0.

EXERCICES

1. Vérifier, d'après les expressions des N et T eu fonction des s, y, que les invariants de la quadrique (0) du n° 799 s'expriment sous forme entière en fonction des invariants de la quadrique (E).

"2. Traiter les exemples des n°' 806 et 807, en leur appliquant la forme des conditions aux limites données au n" 804, pour le cas où les déplacements dérivent d'une fonction s.

3. Dans le cas où les déplacements u. v, mv dérivent dune fonction », les forces de volume X, Y, Z étant nulles, ramener l'équation que vérifie » à l'équation de Laplace.

Béponse. — On a dans ce cas

Soit alors

t!^ =-- -^{x, y, z) — ^kix"--^ y--^ Z-): on a

A'i/ = n, U — -r-i -f- A hx. ... ; OX i

les conditions aux limites s'écrivent

" D an \ox

4. Équilibre d'une enveloppe sphérique creuse soumise sur se^ deux faces à des pressions normales et uniformes.

Réponse. — Prenons comme origine le centre 0 de Tenveloppe et appelons R„ et R, les rayons intérieur et extérieur, ?„ et P, les pressions intérieure et extérieure par unité de surface. Par raison de s^'métrie, on voit, comme pour l'enveloppe cylindrique (n° 808), que le déplacement d'un point M a lieu suivant le rayon OM et est fonction de la seule distance O.M = /■.

Posons

étant une fonction de /•. Ces déplacements dérivent de la fonction

■ç = l"z dr.

En écrivant que 6 est constant et égal à 3 c, on a

— <r 2 - — âC, £ = Cr -i :j

dr r /-

o = cr- —

CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE l' É L A ST I C I T É . 539 Les conditions aux limites donnent ensuite

H;SP„-HÎP, ^^ (P,,P,)RJ1V|

expressions qui contiennent encore t, — - au dénominateur, en posant

(L\MÉ, Leçons, etc. S\aa\u, /Votions sur la théorie de l'élasticité ; Gauthier- Villars, p. 43. )

5. Équilibre d'un ellipsoïde élastique tournant avec une vitesse angulaire constante iii autour d'un de ses axes 0 z. On néglige la pesanteur et la pression atmosphérique.

Dans cet exemple, il n'y a pas de forces à la surface, X^^= Y^^= Z,= o; sur les éléments de volume agit la fuice centrifuge. Soit /• la distance d'un point P à

l'axe, la force X, Y, Z dérive de la fonction U — -w-/--'.

RI. C. Clirec, qui avait déjà étudié le problème précédent dans le Quarterly Journal de i888, a traité en iSgS, dans le même Recueil {voir aussi le Travail antérieur inséré dans les Proceedings of the Royal Society, Vol. LVIII), le cas plus général dans lequel la force X, Y, Z dérive de la fonction

P, Q, R étant des constantes et les axes de coordonnées étant les axes de l'ellipsoïde. Il suppose même que, sur la surface, les efforts, au lieu d'être nuls, peuvent être normaux et d'une forme analogue à celle de U.

(3. Équilibre d'un corps élastique pesant immergé dans un liquide parfait de même densité soumis à une pression extérieure donnée (Cos.seiiat, Comptes rendus, fin de la Note du ig août 1901).

7. Lorsqu'un milieu élastique est infiniment peu déformé par des forces extérieures appliquées exclusivement à sa surface ( n" 805), on a

en outre, les trois déplacements u, v, w, les six déformations =., .y, et les six quantités N,, T; vérifient l'équation

AAj =:: o.

Réponse. — On obtient ces résultats par dérivation et addition dans les équations (2-;).

8. Déterminer les dimensions des constantes \ et ij. par rapport aux unités fondamen aies.