ÉQUATIONS DU MOUVEMENT D'UN FLUIDE VISQUEUX

811. Efforts intérieurs dans un fluide visqueux. — Nous avons appelé Jliiide parfait {n" l"!^) un fluide dans lequel tous les efTorls intérieurs sont des pressions normales aux éléments sur lesquels elles s'exercent. Mais, comme nous l'avons dit, un fluide parfait est une abstraction dont les fluides naturels s'approchent plus ou moins. Dans tous les fluides. même dans les plus mobiles, il existe une certaine viscosité due au frottement intérieur.

Diverses méthodes ont été proposées pour tenir compte de la viscosité : nous exposerons ici la théorie le plus ordinairement adoptée dont Basset (i) fait remonter l'origine à un Mémoire de Stokes (Trans.Camb. Phil. Soc., t, VIII, p. ^87); cetle théorie est surtout satisfaisante quand les vitesses des particules du fluide sont petites.

La méthode que nous allons exposer est analogue à celle que nous avons suivie pour établir les équations de l'élasticité.

Tout d'abord, on peut appliquer au fluide tout ce qui a été dit des efforts dans un milieu continu. A chaque instant, en chaque point du fluide, ces efforts sont caractérisés par les six quantités Ni, î\2, I\.3, Tj, Ta, T3 (n° 616) qui sont fonctions de :r, y., z, t.

Si l'on appelle X, Y, Z la force extérieure rapportée à l'unité de masse agissant au point P(ar, j, z), J.c, Jy, iz les projections de l'accélération de la particule liquide placée en P, et p la densité en ce point, les équations du mouvement sont ( n" 616)

- ^ d.v or Oz ' '

Si le fluide (tX-^àx. parfait, on aurait ( n° 722)

N, ^-s,^-\,^-p, Ti = T., = T;i = o.

(') Basset, Trealise on Ilydrodynainics, l. II, Cliap. X.\.

CHAP. WXVIII. — KQUATIONS DU MOIVK.MENT d'uN LIQUIDE. 54»

Nous poserons en conséquence, dans un fluide visqueux,

Nous pourrons dire alors que, si le fluide était parfait, N', , N'o, N'3, Ti, T.,, T3 seraient nuls, en chaque point, à chaque instant.

D'autre part, si le fluide, tout en étant visqueux, était en équilibre, les mêmes quantités N',, N',, N3,T,,T2, T3 seraient aussi nulles, car, pour qu'un fluide visqueux ou non soit en équilibre, il faut que tous les efi"orts intérieurs soient des pressions normales (n^ 623). D'après cela, les quantités N'i, N'2, N'3, T,,T,, T3 s'annulent quand toutes les vitesses sont nulles.

812. Détermination des efforts en fonction des dérivées des composantes de la vitesse. — Dans un fluide en mouvement, lorsque t varie de ta t + dt, les points P du fluide subissent des déplacements PPj ayant pour projections

(3) u = udt, Y — vdt, w = ivdt.

Si l'on prend un élément fluide dm entourant le point P à l'instant /, cet élément, à l'instant t-^dt, prend une nouvelle forme et une nouvelle position rfmi entourant Pi. Nous avons vu, au n° 705, que l'on peut passer de dm à dniy en faisant subir à dm :

jo Une translation d'ensemble;

2° Une rotation d'ensemble ;

3° Une déformation.

Le frottement résulte uniquement du déplacement relatif des points du fluide : la translation et la rotation, n'altérant pas les positions relatives des points de l'élément dm, ne donnent naissance à aucun frottement intérieur; c'est seulement la déformation qui détermine le frottement.

Les quantités N'j, N',, N'3, Tj, T2, T3, qui représentent l'efi^et du frottement intérieur, dépendent donc uniquement des éléments caractéristiques de la déformation subie par dm. Or, nous savons que, dans une déformation infiniment petite, définie par les déplacements u, v, -w, les six éléments caractéristiques de la déformation sont (n° 684)

du __ àw r)Y

^' ^ ^ ' * " ' ' "^^^ ~ '^y^ Oz' ■ " '

actuellement, d'après les expressions (3) des déplacements u, v, w, ces six quantités sont

du , f àw dv\

et la dilatation cubique 6 a pour expression

Ou àv da à.v dj

dv dw\ ,

Ces quantités z et ■; sont de Tordre de dt : les six quotients

sont finis et mesurent ce qu'on peut appeler la vitesse de déformation en P; ces quotients sont

Ou Ox dw dv

ôy ' dz

àv

div

du

div

di>

Ou

dz

' ^ ~ Ox

Oy

Le quotient de 0 par dt mesure de même la vitesse de dilatation cubique 6' :

//>■ f > ^" Oç div , , ,

-* ~ dx~ ô}'~ ^ ~ ''^^ ''-~^ ''^'

Les quantités N'j, N'^, N3, T|, T2, T3 sont alors des fonctions de t\, s'^, ':t' Ti' '{il 7-2 s'annulant quand toutes ces variables sont nulles, car les N',T sont nuls dans l'équilibre, comme nous l'avons dit plus haut. Nous admettrons que les vitesses u. v^ w et leurs dérivées par rapport à x, y, z soient assez petites pour qu'on puisse' négliger les carrés et les produits de ce.-dérivées. Alors, en développant par la formule de Mac-Laurin les N' et les T considérés comme fonctions des z', -;', on pourra borner ces développements aux ternies du premier degré et prendre pour les N' et les T des fonctions linéaires et homogènes des ■! , -/. Ces six fonctions linéaires de six variables contiennent trente-six coefficients; mais le fluide étant isotrope dans la particule infiniment petite dm, les considérations de symétrie employées en élasticité (n" 799) permettent de réduire ces coefficients à deux et donnent finalement, pour les N' et les T, les expressions suivantes en fonction des e', •( :

À' et \i! désignant deux constantes analogues aux constantes X et a de la théorie de l'élasticité. D'après les valeurs (5) des z. •(', on a finalement

(S) ' • dx ' ^ Oy Oz

En se reportant aux équations (1), on a

(Q) \ «^•^ ' y dy Oz

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813. Équations du mouvement. — D'après ces valeurs (9) des N et T, les équations du mouvement (i) deviennent

Ox- (Jx

Ou dv ôw

ax oy ()z

où J.r, Jj-, J; s'expriment, comme nous l'avons vu dans la cinématique des fluides, soit avec les variables de Lagrange, soit avec celles d'Euler.

Cas d'un liquide visqueux. — Pour un liquide incompressible, 0' est nul : les équations du mouvement (10) prennent donc la forme

-,- — \J-' ^u = p(X — Jx),

(n) { ^ -|/Ai^-p(Y-J^),

I — — ii.'Air= p(Z — J;), \ ôz ^ ' ^

avec un coefficient \i.' appelé coefficient de viscosité du liquide.

Cas d'un gaz. — Pour les gaz, on fait quelquefois une hypothèse supplémentaire permettant d'établir une relation entre X' et fx'. Cette hypothèse est la suivante :

Si Vêlement gazeux dm se dilate également dans toutes les directions, les composantes normales N,, N,, N3 deviennent égales à la pression p, ou encore les quantités N'j, N2, N3 deviennent nulles.

Dire que l'élément dm se dilate également dans tous les sens, c'est dire que l'ellipsoïde des dilatations (n°668) est une sphère Si=£2=î,3, et, par suite, e'i = £2 = £3. Les N' données par les relations ( 7) devraient donc s'annuler quand t\ — z\—z'.^, ce qui exige

{12) 3X'-+- 2[j-'= 0, ou ^'—-=0

en posant ç = -, -^ i-

Les applications de ces équations sont peu nombreuses et présentent de grandes difficultés. On en trouvera quelques-unes dans l'Ouvrage souvent cité de Basset, dans la Mécanique de Kirchhofl", dans les Leçons sur la théorie des tourbillons de M. Poincaré, dans divers Mémoires de M. Boussinesq, enfin dans la Thèse de M. Nau sur le clapotis (Gaulhier- Villars, 1896). M. Duhem a indiqué, dans les Comptes rendus du la mai 1902. une autre théorie de la viscosité.