CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES
et la formule (i) devient
Le deuxième membre est le flux à travers la surface S. Le facteur a -7-^ + [îi -7- + Y ^ est appelé dérivée de cp suivant la normale extérieure à S et désigné par -p-' Pour justifier cette expression, menons
la normale extérieure MN en un point M de S (/z'^'. 278) et prenons sur cette normale un pointM' infiniment voisin dcM à une distance MM'= dn. Les coordonnées de M étant x, y, ^, celles de M' sont x -+- a. dn, y -h ^ dn, ^ + y dn. Quand on passe de M à M', les coordonnées croissent donc des quantités infiniment petites
dx = a dn, dy = p dn, dz = y dn ; (l'autre part la fonction ca croît de
, d'-ù , do , à(r> j
dv> = -T-^ dx -H ~ dv -r- ~- dz, ^ dx dy -^ dz
d'où, en remplaçant dx, dy, dz par leurs valeurs
do do do d'j>
dn àx dy ' dz
La formule peut alors s'écrire
J J Jv \f^-* àx dy dy dz dz) ~J J ' dn
11 est évident que, si l'on prenait de même la dérivée de cû suivant la normale intérieure, cette dérivée serait égale et de signe contraire à la dérivée suivant la normale extérieure.
Autre forme de la formule. — Dans la formule précédente permutons ca et d»; puis retranchons la nouvelle formule ainsi
obtenue de (3), il vient
037. Remarque. — Nous avons déduit la formule (a^ de la formule (i); on peut inversement déduire la formule (i)de (2).
En effet, faisons dans la formule (2)
6 = F, o = X, nous avons A'-s = o et
On retrouverait de même les deux autres formules du n" oS^, en faisant successivement dans (2)
o = G, et ^ — y ou 6 = H et 'c — z.
038. Cas où ¥ dx — G dy — H dz est une différentielle exacte. —
Supposons
F dx H- G dj- — H dz = d <^{x, y, z),
ox oy Oz
Le vecteur W dérive alors de la seule fonction oi^x^y^ z) : on
peut l'appeler un vecteur simplement scalaire. Ce cas a été
examiné en détail dans le premier Volume, à propos des forces
dérivant d'une fonction de forces (n°* 87, 88). La divergence du
vecteur W est alors
E = Acp
et la formule générale (i) devient
comme on le voit en faisant, dans les foi'mules (2) et (3), 'i; == i.
