CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES
travers ch dans le sens MN le produit
Analjliquement, si a, [i, y sont les cosinus directeurs de MN, on a
et le flux est
\V„rfa = (aF + jBG ^ yH) d'z.
Si l'on considère une portion finie S de surface ayant deux faces, le flux total à travers celle surface dans un sens déterminé est la somme des flux élémentaires à travers les divers éléments de la surface S ; c'est donc l'intégrale
Jk
étendue à la surface S.
En chaque point M du champ la quantité
^ dY dO, an
ax ay oz
a une valeur bien déterminée qu'on appelle la divergence du vecteur W en ce point. Cette quantité a une signification géométrique indépendante du choix des axes comme nous le verrons plus loin. Ceci posé, l'équation (i), relative au volume V situé dans le champ, peut s'écrire
ffl^'-ffl'''"'"'
elle exprime le flux total à travers la surface fermée S, de l'intérieur vers l'extérieur, en fonction des valeurs de la divergence aux divers points du volume limité par S.
En particulier, si l'on applique la formule ci-dessus à un volume infiniment petit dx entourant un point M(a^,y, z) et limité par une surface 5, la première intégrale se réduit à un seul élément, et l'on a
Edz= f f^ndn,
-fl
formule qui montre que la divergence E a, au point iM, une valeur indépendante du choix des axes, el égale au flux à travers une surface fermée infiniment petite, entourant M, divisé par le volume que limite cette surface.
536. Cas particulier où ¥ dx-^G dy -\-}\dz admet un facteur intégrant. — Supposons maintenant qu'il existe un facteur fonction de Xj y. z tel que le produit de F dx -f- G dy -h H dz par ce facteur soit la difi'érentielle totale d'une fonction '^(^x.y^z). En
désignant ce facteur par -r-, ' on aura
\^¥ dx^Gdy-^l\ dz ) = d-^, F dx^Gdy-^Hdz = '\> do,
^ ^ ' Ox ' dy • Oz
On dit, dans certains Ouvrages ('), que le vecteur W de projections F, G, H est alors doublement scalaire, tandis que dans le cas général il est triplement scalaire. Cela tient à ce qu'on nomme fonction scalaire une fonction des coordonnées ^, y^ z ajantune valeur en chaque point du champ considéré. Dans le cas général, pour définir le vecteur W en chaque point du champ, il faut connaître les trois fonctions scalaires F, G, H, tandis que dans le cas actuel il suffît de connaître les deux fonctions scalaires cp et ^.
Si l'on pose, pour abréger,
d^o d'-'s d-o ' "^ "~ 'dx^ "^ 'dy-^ ~ 'dz'i '
on a actuellement, pour la divergence du vecteur W,
c)F dCj àU. dj^ do ^ di^ d^ ^d^ dj
~ dx ' dy Oz ~ ' '' ' dx âx ' ày ây dz dz
(') Voyez par exemple : V. Bjerknes, Zur Théorie gewisser Vektorgrossen, ( VidenskaLsselskabcls Skrifter. I. Malh.-naturv. Klasse. 1898. No. 4; Clirisliania. )
