it [(rt2-.-itf ' (62-^ «)2 ' (c2-i- ît)2j cAk

Ajoutons ces équations après avoir multiplié la première par - — , la deuxième par -t--^^^ — , la troisième par -^'^— , nouspour-

rons diviser le résultat par -ç^^^zr^f + (Ô^^T^ "^ {c^-r-uf ^^

nous verrons que

AU = o.

2° Si le point est intérieur, on a, en différentiant la formule (20),

calculant de même — ^, --r et ajoutant, on a ôy- Oz- ■*

/> - / I t I \ rfA

Au^--..«6cp^^^ (^7^^-"6^-;x--c-^^J7^(X)

lo4 ÉQUILIBRE ET .MOUVEMENT DES MILIEU V CONTINUS.

L'intéffrale indéfinie est , el l'inléorale définie —r- :

v/o(X) ■ abc

donc, à l'intérieur

AU=- -47:p.

Enfin la fonction L, donnée par (i-), s'annule à l'infini, car // est infini à l'infini.

La fonction U définie par les formules (i~ ) et ( iS) est donc le |)Otentiel de rellipsoïde.

603. Ellipsoïde de révolution aplati. — Supposons, en particulier^ que l'ellipsoïde soit engendré par la révolution d'une ellipse d'axes a et b. a ^> b autour du petit axe. Alors, en prenant l'axe de révolution pour axe 0:3, il faut dans les formules précédentes remplacer b par a et c par b. Donc :

Point extérieur,

où

Il étant la racine positive de

a^ -+- M b'^-7' u Point intérieur ou sur la surface.

\}^T.cr-bz / I -A -r-, — \) ,

Calculons cette dernière intéorale. On a

I = arc tans: - = -arc lan<i -

— j-, -r- —arc tang

dk 1 -2 c

= — , arc tang y

comme on le voit facilement en faisant

cil MM tri: XX i\.

et posant